Як записати багато раціональних чисел

0 Comments

4. Раціональні числа

Виконується співвідношення ℤ ⊂ ℚ , оскільки будь-яке число \(m\) можна зобразити у вигляді m 1 .

раціональні числа — це всі цілі числа, а також додатні та від’ємні звичайні дроби.
Будь-який десятковий дріб як окремий випадок звичайного дробу також є раціональним числом.

Для раціональних чисел, окрім вказаного вище запису m n , можна використовувати інший вигляд запису, який представлено нижче.

Розглянемо ціле число \(7\), звичайний дріб 5 11 та десятковий дріб \(4,244\).
Ціле число \(7\) можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу \(7,0000. \) .

Десятковий дріб \(4,244\) також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу \(4,244000. \) .

Як бачимо, після коми відбувається повторення тієї самої групи цифр: \(45, 45, 45\), .

Група цифр після коми, що повторюється, називається періодом, а сам десятковий дріб — нескінченним десятковим періодичним дробом.

Число \(7\) також можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Для цього потрібно в періоді записати число \(0\) : \(7 = 7,00000. = 7,(0)\).

Щоб усе було чітко, кажуть так: \(4,244\) — кінцевий десятковий дріб, а \(4,244000. \) — нескінченний десятковий дріб.

Взагалі будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.

Правильно і протилежне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна зобразити у вигляді звичайного дробу.

Завдання. Записати у вигляді звичайного дробу нескінченний десятковий періодичний дріб:


Розв’язання:

Помножимо \(x\) на таке число, щоб кома пересунулася вправо рівно на один період. Оскільки в періоді містяться дві цифри, потрібно, щоб кома пересунулася вправо на дві цифри, а для цього число \(x\) треба помножити на \(100\).

9.1.3: Раціональні та дійсні числа

Ви працювали з дробами та десятковими знаками, як-от 3.8 і \(\ 21 \frac\) . Ці числа можна знайти між цілими числами на числовому рядку. Є й інші числа, які можна знайти на числовому рядку, теж. Коли ви включаєте всі числа, які можна поставити на числовий рядок, у вас є дійсний номер рядка. Давайте заглибимося в числовий рядок, щоб побачити, як виглядають ці числа і де вони потрапляють на числовий рядок.

Раціональні числа

Дріб \(\ \frac\) , змішане число \(\ 5 \frac\) , і десяткова 5.33. (або \(\ 5 . \overline\) ) всі представляють одне і те ж число. Це число належить до набору чисел, які математики називають раціональними числами. Раціональні числа – це числа, які можна записати у вигляді співвідношення двох цілих чисел. Незалежно від використовуваної форми, \(\ 5 . \overline\) є раціональним, оскільки це число може бути записано як співвідношення 16 над 3, або \(\ \frac\) .

Приклади раціональних чисел включають наступне.

0.5, як це можна записати як \(\ \frac\)

\(\ 2 \frac\) , як це може бути записано як \(\ \frac\)

\(\ -1.6\) , як це може бути записано як \(\ -1 \frac=\frac\)

\(\ 4\) , як це може бути записано як \(\ \frac\)

-10, як це можна записати як \(\ \frac\)

Всі ці числа можна записати у вигляді співвідношення двох цілих чисел.

Ви можете знайти ці точки на числовій лінії.

На наступній ілюстрації точки показані за 0,5 або \(\ \frac\) , а для 2,75 або \(\ 2 \frac=\frac\) .

Як ви вже переконалися, раціональні числа можуть бути негативними. Кожне позитивне раціональне число має протилежне. \(\ 5 . \overline\) Протилежне є \(\ -5 . \overline\) , наприклад.

Будьте обережні при розміщенні від’ємних чисел на числовому рядку. Від’ємний знак означає, що число знаходиться зліва від 0, а абсолютне значення числа – відстань від 0. Таким чином, щоб розмістити -1.6 на числовій лінії, ви знайдете точку, яка |-1.6| або 1.6 одиниць зліва від 0. Це більше 1 одиниці, але менше 2.

Приклад

Помістіть \(\ -\frac\) на числовому рядку.

Рішення

Корисно спочатку написати цей неправильний дріб як змішане число: 23, розділене на 5, дорівнює 4 з залишком 3, так і \(\ -\frac\) є \(\ -4 \frac\) .

Оскільки число від’ємне, ви можете думати про нього як про переміщення \(\ 4 \frac\) одиниць зліва від 0. \(\ -4 \frac\) буде між -4 і -5.

Вправа

Який із наведених пунктів представляє \(\ -1 \frac\) ?

  1. Неправильний. Ця точка трохи більше 2 одиниць зліва від 0. Точка повинна бути 1,25 одиниці зліва від 0. Правильна відповідь – пункт Б.
  2. Правильно. Від’ємні числа ліворуч від 0, а ліворуч \(\ -1 \frac\) повинні бути 1,25 одиниць. Точка B є єдиною точкою, яка більше 1 одиниці і менше 2 одиниць зліва від 0.
  3. Неправильний. Зауважте, що ця точка знаходиться між 0 і першим знаком одиниці зліва від 0, тому вона представляє число між -1 і 0. Точка для \(\ -1 \frac\) повинна бути 1,25 одиниць зліва від 0. Можливо, ви правильно знайшли 1 одиницю зліва, але замість того, щоб продовжувати ліворуч ще 0,25 одиниці, ви переїхали праворуч. Правильна відповідь – пункт Б.
  4. Неправильний. Від’ємні числа ліворуч від 0, а не праворуч. Точка для \(\ -1 \frac\) повинна бути 1,25 одиниць зліва від 0. Правильна відповідь – пункт Б.
  5. Неправильний. Ця точка становить 1,25 одиниць праворуч від 0, тому вона має правильну відстань, але в неправильному напрямку. Від’ємні числа ліворуч від 0. Правильна відповідь – пункт Б.

Порівняння раціональних чисел

Коли два цілих числа графуються на числовому рядку, число праворуч на числовому рядку завжди більше, ніж число ліворуч.

Те ж саме відбувається при порівнянні двох цілих чисел або раціональних чисел. Число праворуч на числовому рядку завжди більше, ніж число ліворуч.

Ось кілька прикладів.

Числа для порівнянняПорівнянняСимволічний вираз
\(\ -2 \text < and >-3\)-2 більше -3, тому що -2 праворуч від -3\(\ -2>-3 \text < or >-3
\(\ 2 \text < and >3\)3 більше, ніж 2, тому що 3 праворуч від 2\(\ 3>2 \text < or >2
\(\ -3.5 \text < and >-3.1\)-3.1 більше, ніж -3.5, тому що -3.1 знаходиться праворуч від -3.5 (див. нижче)\ (\\ begin
-3.1>-3.5\ текст
-3.5 \ end \)
Вправа

Які з перерахованого є правдою?

Варіант \(\ \text < 1. >-4.1>3.2\)

Варіант \(\ \text < 3. >3 .2>4.1\)

  1. Варіант 1 і Варіант 4
  2. Варіант 1 і Варіант 2
  3. Варіант 2 і Варіант 3
  4. Варіант 2 і Варіант 4
  5. Варіанти 1, 2 і 3
  1. Неправильно. -4.6 знаходиться ліворуч від -4.1, отже -4.6 -4.1 або -4.1-4.1 та -4.6
  2. Неправильно. -3.2 знаходиться праворуч від -4.1, тому -3.2>-4.1. Однак позитивні числа, такі як 3.2, завжди знаходяться праворуч від від’ємних чисел, таких як -4.1, тому 3.2>-4.1 або -4.1-4.1 та -4.6
  3. Неправильно. -3.2 знаходиться праворуч від -4.1, тому -3.2>-4.1. Однак 3.2 знаходиться ліворуч від 4.1, тому 3.2 -4.1 та -4.6
  4. Правильно. -3.2 знаходиться праворуч від -4.1, тому -3.2>-4.1. Крім того, -4.6 знаходиться ліворуч від -4.1, тому -4.6
  5. Неправильно. -3.2 знаходиться праворуч від -4.1, тому -3.2>-4.1. Однак позитивні числа, такі як 3.2, завжди знаходяться праворуч від від’ємних чисел, таких як -4.1, тому 3.2>-4.1 або -4.1<3.2. Крім того, 3.2 знаходиться ліворуч від 4.1, тому 3.2 -4.1 та -4.6

Ірраціональні та дійсні числа

Існують також цифри, які не є раціональними. Ірраціональні числа не можна записати як співвідношення двох цілих чисел.

Будь-який квадратний корінь числа, який не є ідеальним квадратом, наприклад \(\ \sqrt\) , нераціональний. Ірраціональні числа найчастіше записуються одним з трьох способів: як корінь (наприклад, квадратний корінь), за допомогою спеціального символу (наприклад, \(\ \pi\) ) або як неповторюваний, що не закінчується десятковий.

Числа з десятковою частиною можуть бути або закінчуючими десятковими знаками, або незавершеними десятковими числами. Закінчення означає, що цифри зупиняються в кінцевому підсумку (хоча ви завжди можете записати нулі в кінці). Наприклад, 1.3 закінчується, тому що є остання цифра. Десяткова форма \(\ \frac\) дорівнює 0,25. Закінчення десяткових знаків завжди раціонально.

Незавершені десяткові числа мають цифри (крім 0), які тривають назавжди. Для прикладу розглянемо десяткову форму \(\ \frac\) , яка дорівнює 0.3333. Тривалі тривають нескінченно довго. Або десяткова форма \(\ \frac\) , яка дорівнює 0.090909. послідовність «09» триває вічно.

Окрім того, що ці два числа є незавершеними, також повторюються десяткові знаки. Їх десяткові частини складаються з числа або послідовності чисел, яка повторюється знову і знову. Неповторювана десяткова кома має цифри, які ніколи не утворюють повторюваний візерунок. Значення \(\ \sqrt\) , наприклад, становить 1.414213562. Незалежно від того, наскільки далеко ви виконуєте цифри, цифри ніколи не повторять попередню послідовність.

Якщо число закінчується або повторюється, воно повинно бути раціональним; якщо воно одночасно не закінчується і не повторюється, число є ірраціональним.

\(\ \left.0.66 \ldots \text < (or >\frac\right)\)

Приклад

-82.91 раціональний чи ірраціональний?

Рішення

-82.91 є раціональним.Число є раціональним, оскільки воно є закінчувальним десятковим.

Безліч дійсних чисел складається шляхом об’єднання безлічі раціональних чисел і безлічі ірраціональних чисел. До дійсних чисел належать натуральні числа або підрахункові числа, цілі числа, цілі числа, раціональні числа (дроби та повторювані або закінчуються десяткові числа) та ірраціональні числа. Безліч дійсних чисел – це всі числа, які мають розташування на числовому рядку.

Набори чисел

Натуральні числа 1, 2, 3.

Цілі числа 0, 1, 2, 3.

Цілі числа. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Раціональні числа: числа, які можна записати як співвідношення двох цілих чисел – раціональні числа закінчуються або повторюються при записі в десятковій формі

Ірраціональні числа: числа, які не можна записати як співвідношення двох цілих чисел – ірраціональні числа є незавершеними та неповторюваними при записі в десятковій формі

Реальні числа: будь-яке число, яке є раціональним або ірраціональним

Приклад

До яких наборів чисел належить 32?

Рішення