2.4 Функція розподілу для вироджених систем (функція Фермі-Дірака)

Графік цієї функції показаний на рис.2.4. При температурі Т=0К і Еμ f(E)=0. Це означає, що квантові стани, в яких енергія частинок менша від хімічно-го потенціалу μ, займаються з ймовірністю 1, тобто всі вони зайняті. Ймовірність же зайняття рівнів, енергія частинок на яких більша від хімічного потенціалу, дорівнює нулю, тобто вони всі вільні. Рівень, на якому енергія частинок дорівнює хімічному потенціалу, називається рівнем Фермі. При температурах, відмінних від абсолютного нуля при Е=μ f(E)=1/2. Отже рівень Фермі – це енергетичний рівень, ймовірність зайняття якого частинками дорівнює 1/2. При збільшенні температури край функції розподілу Фермі-Дірака розмивається. і чим вища температура, тим більше розмиття, яке охоплює інтервал енергій ±kT. Це означає, що частинки з енергією меншою, але близькою до рівня Фермі зазнають теплового збудження, тобто одержують теплову енергію, і переходять на більш високі енергетичні рівні за рівень Фермі. Метал, а саме в ньому електронний газ описується цією функцією, представляє для електронів потенціальну яму з дискретним енергетичним спектром, показаним на рис.2.5. З нього видно, що максимальну кінетичну енергію при Т=0К мають електрони, які знаходяться на рівні Фермі μ. Ця кінетична енергія, відрахована від дна ями (від найнижчого рівня) називається енергією Фермі E_F.

Знайдемо її із умови, що при Т=0К інтеграл дорівнює загальній кількості частинок, а .

Тут n=N/V – концентрація електронів. При n=10 28 м -3 Е_F ≈ 1,5 еВ. Зручніше задавати цю енергію характеристичною температурою Фермі T_F, яка вводиться із рівняння E_F = kT_F. При оціненому значенні енергії Фермі температура Фермі дорівнює T_F=2×10 4 K, яка набагато більша від температури плавлення металів. Цей результат ще раз доводить, що електронний газ в металах завжди вироджений.

Оцінимо долю електронів, які при температурі Т зазнають теплового збудження, тобто знайдемо долю частинок, які знаходяться в інтервалі kT енергії поблизу рівня Фермі. Відстань між енергетичними рівнями в потенціальній ямі

Тоді кількість енергетичних рівнів в інтервалі kT буде

Враховуючи, що електронів у 2 рази більше, ніж рівнів, але ймовірність іх заняття поблизу рівня Фермі майже 0,5, одержуємо

Навіть при температурі 1000К ця доля збуджених електронів не перевищує 1÷2%.

Як же змінюється функція Фермі-Дірака при високих температурах? Коли Е-μ >> kT, тобто Е >> μ + kT, одиницею в знаменнику функції (2.11) можна знехтувати, і функція перейде у функцію (2.7) Максвелла-Больцмана, як і повинно бути у випадку переходу виродженої системи в невироджену.

Енергія Фермі. Розподіл електронів провідності в металі

Метал для вільних електронів є своєрідною потенціальною ямою, вихід з якої вимагає затрати енергії на подолання сил зв’язку, що ут­римують електрони в металі. На рис. 349 наведена схема такої потенціальної ями. Горизонтальними лі­ніями показані енергетичні рівні, які можуть займати електрони. Розподіл електронів на різних енергетичних рівнях здійснюється за принципом Паулі, згідно з яким на одному рівні не може бути двох або більше однакових (з однаковим набором чотирьох квантових чисел) електронів, вони повинні відрізнятися якоюсь характеристикою, наприклад, напрямком спіну .

Отже, за квантовою теорією, електрони в металі не можуть розміщуватися на найнижчому енергетичному рівні навіть при температурі Т=0 K . Принцип Паулі вимушує електрони підніматися вгору по „енергетичній драбині”. Якщо електронний газ містить N електронів, то останнім зайнятим виявиться рівень .

Рівень Фермі відповідає максималь­ній кінетичній енергії , яку може мати електрон в металі при абсолютному нулі. Її називають енергією Фермі.

Рівень Фермі буде тим вищим, чим більша густина електронного газу. Роботу виходу електрона з металу треба відраховувати не від дна потенціальної ями, як це робилось в класичній теорії, а від рівня Фермі.

Електрони провідності в металі можна розглядати як ідеальний газ, що описується розподілом Фермі-Дірака. Середнє число електронів у квантовому стані на енергетичному рівні з енергією Е дорівнює

При абсолютному нулі всі стани з енергією зайняті електронами, стани з енергією вільні. Іншими словами, при T=0 K ймовірність заповнення електронами станів з енергією дорівнює 1, ймовірність заповнення станів з енергією дорівнює нулю:

Щоб отримати цей результат з допомогою розподілу Фермі-Дірака, необхідно вважати, що при T=0 K хімічний потенціал електронного газу, який відрахований від дна потенціальної ями, дорівнює енергії Фермі :

Якщо , то при Т=0 K

Якщо , то при Т=0 K

На рис. 350 наведений графік функції розподілу Фермі-Дірака при абсолютному нулі. Він має вигляд сходинки, що обривається при

Повна функція розподілу Фермі-Дірака при абсолютному нулі ( N ( E ) > =1 ):

Інтегруючи цей вираз, отримаємо

Звідси визначаємо енергію Фермі :

де – концентрація електронного газу в металі.

Введемо температуру Фермі, яка визначається із співвідношення , де k – стала Больцмана . Вона показує, при якій температурі невироджений газ з масою молекул, що дорівнює масі електрона, мав би енергію теплового руху kT , що дорівнює енергії Фермі. Для електронів в металі . Жоден метал при таких температурах не може існувати в твердому стані. Тому для всіх температур, при яких метал може існувати у твердому стані, електронний газ у металі – вироджений.

При температурі якщо , функція розподілу Фермі-Дірака . Отже, зі статистичної точки зору ймовірність заповнення рівня Фермі при дорівнює .

При підвищенні температури елек­трони зазнають теплових збуджень і переходять на вищі енергетичні рівні, внаслідок чого змінюється характер їх розподілу за станами. При кімнатній температурі , а енергія Фермі E_F =3–10 eB . В інтервалі температур, в якому енергія kT теплового руху значно менша, теплових збуджень можуть зазнавати електрони лише вузького прошарку kT , розміщеного безпосередньо біля рівня Фермі (рис. 351). Енергія kT теплового руху недостатня для збудження елек­тронів глибоких рівнів.

В результаті теплового збудження частина електронів, що мають енергію, меншу , переходить на рівні з енергією, більшою від , встановлюється новий їх розподіл за станами. На рис. 3 52 показані криві розподілу електронів за станами при T=0 K (крива 1) і при T>0 K (крива 2).

Підвищення температури викликає розмивання розподілу на глибину kT і появу „хвоста” розподілу BC, що розміщується правіше . У першому випадку середнє число електронів менше від одиниці, а в другому – більше від нуля. Чим вища температура, тим суттєвіше змінюється функція розподілу. Сам „хвіст” BC описується уже максвеллівським розподілом.

На рис. 352 заштриховані площі, пропорційні до кількості електронів , що покидають стани з енергією (площа ABD) і що переходять на рівні, які розміщені вище (площа BC). За величиною ці площі рівні, оскільки вони виражають одне і те ж число електронів.

При кімнатній температурі , при Т=1000 K .

Тому у всьому діапазоні температур, в якому електронний газ в металі є виродженим, його розподіл мало відрізняється від розподілу при абсолютному нулі.

Якщо , то одиницею в знаменнику можна нехтувати порівняно з експонентою і тоді розподіл Фермі-Дірака переходить у розподіл Максвелла- Больцмана :

Отже, при , тобто при високих температурах до електронів в металі застосовна класична статистика, в той час коли , до них застосовна лише квантова статистика Фермі-Дірака.

Невиродженим електронним газом є сукупність вільних електронів у власних напівпровідників.