Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі (мал. 242).

Розглянемо властивості прямокутника:

1) У прямокутнику протилежні сторони попарно рівні.

На малюнку 242: АВ = СD, АD = ВС.

2) Периметр прямокутника Р_{АВ CD} = 2(АВ + ВС).

3) Діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться пополам.

На малюнку 243: АС = ВD і АО = ОС, ВО = DО. Оскільки АС = ВD, то матимемо АО = ВО = СО = DО. Тому маємо наступну властивість.

4) Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддалена від усіх його вершин.

5) Приклад 1. Діагональ прямокутника ділить його кут у відношенні 4:5. Знайдіть кут між діагоналями даного прямокутника.

Розв’язання. 1) (мал. 243). Нехай АDО : ОDС = 4 : 5. Позначимо АDО = 4х, ОDС = 5х. Тоді 4х + 5х = 90°; х = 10°. Тому АDО = 4 ∙ 10° = 40°; ОDС = 5 ∙ 10° = 50°.

2) ∆ОСD – рівнобедрений (бо ОD = ОС). Тому ОСD = ОDС = 50°. У ∆ОСD: ОСD = 180° – 2 ∙ 50° = 80°. Отже, кут між діагоналями даного прямокутника дорівнює 80°.

Приклад 2. У прямокутнику АВСD діагоналі перетинаються в точці О. ОР – бісектриса трикутника АОВ, DОР = 160°. Знайдіть САВ.

Розв’язання (мал. 244).

1) РОВ = 180° – 160° = 20°.

2) Оскільки ОР – бісектриса ∆АОВ, то ВОА = 2 ∙ 20° = 40°.

3) ∆АОВ – рівнобедрений (бо АО = ОВ), тому

Приклад 3. Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а його діагональ 13 см. Знайдіть сторони прямокутника.

Розв’язання. 1) Нехай сторони прямокутника дорівнюють а см і b см.

Тоді 2(а + b) = 34, тобто а + b = 17 і

2) Маємо систему

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 12 см.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Прямокутник. Формули та властивості прямокутника

Прямокутники відрізняються між собою тільки співвідношенням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.

Довшу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротшу – шириною прямокутника.

Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

Основні властивості прямокутника

1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнюють сумі квадратів сторін:

2 d 2 = 2 a 2 + 2 b 2

8. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на дві однакові фігури, а саме на прямокутні трикутники.

9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:

10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника, а також є центром описаного кола
12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, бо сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів:

∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°

13. В прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, бо суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можно тільки в частинний випадок прямокутника – квадрат).

Сторони прямокутника (довжина і ширина прямокутника)

Довжиною прямокутника називають довжину довшої пари його сторін. Шириною прямокутника називають довжину коротшої пари його сторін.

Формули визначення довжин сторін прямокутника

1. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діагональ та іншу сторону:
2. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через площу та іншу сторону:
3. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через периметр та іншу сторону:
4. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діаметр та кут α :
5. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діаметр та кут β :

Діагональ прямокутника

Діагоналлю прямокутника називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів прямокутника.

Формули визначення довжини діагоналі прямокутника

1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):
2. Формула діагоналі прямокутника через площу та будь-яку сторону:
3. Формула діагоналі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:
4. формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:
5. формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:

6. формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, та протилежної сторони цього кута:

7. Формула діагоналі прямокутника через косинус кута, прилеглого до діагоналі, та прилеглої сторони до цього кута:

8. Формула діагоналі прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника

Периметр прямокутника

Периметром прямокутника називається сума довжин всіх сторін прямокутника.

Формули визначення довжини периметру прямокутника

1. Формула периметру прямокутника через дві сторони прямокутника:
2. Формула периметру прямокутника через площу та будь-яку сторону:
3. Формула периметру прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:

P = 2( a + √ d 2 – a 2 ) = 2( b + √ d 2 – b 2 )

4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

P = 2( a + √ 4R 2 – a 2 ) = 2( b + √ 4R 2 – b 2 )

5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

P = 2( a + √ D_o 2 – a 2 ) = 2( b + √ D_o 2 – b 2 )

Площа прямокутника

Площею прямокутника називається простір який обмежений сторонами прямокутника, тобто в межах периметру прямокутника.

Формули визначення площі прямокутника

2. Формула площі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:
3. Формула площі прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:

S = a √ d 2 – a 2 = b √ d 2 – b 2

4. Формула площі прямокутника через діагональ та синус гострого кута між діагоналями:
5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

S = a √ 4R 2 – a 2 = b √ 4R 2 – b 2

6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

S = a √ D_o 2 – a 2 = b √ D_o 2 – b 2

Коло, описане навколо прямокутника

Колом, описаним навколо прямокутника, називається коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів прямокутника і має центр на перетині діагоналей прямокутника.

Формули визначення радіуса кола, описаного навколо прямокутника

1. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через дві сторони:

2. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через периметр квадрата та будь-яку сторону:

3. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через площу квадрата:
4. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через діагональ квадрату:
5. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через діаметр описаного кола:

6. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через синус кута, прилеглого до діагоналі, та протилежної сторони цього кута:

7. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через косинус кута, прилеглого до діагоналі, та прилеглої сторони цього кута:

8. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника:

Кут між стороною та діагоналлю прямокутника

Формули визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника

1. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через діагональ та сторону:
2. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через кут між діагоналями:

Кут між діагоналями прямокутника

Формули визначення кута між діагоналями прямокутника

1. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через кут між стороною та діагоналлю:
2. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через площу і діагональ прямокутника:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]