Математика 5 клас

Сірникова коробочка, цеглина, дерев’яний брусок, ящик, пенал дають уявлення про геометричну фігуру, яка називається прямокутним паралелепіпедом (рис. 188).

Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається із шести прямокутників, які називаються його гранями. Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда попарно рівні.

На рисунку 188 протилежними гранями є ABCD і MLKN, AMLB і DNKC, AMND і BLKC. Грані ABCD

і MLKN називають ще основами паралелепіпеда.

Сторони граней називають ребрами паралелепіпеда, а вершини граней — вершинами паралелепіпеда. Прямокутний паралелепіпед має 8 вершин. Усіх ребер є 12, по 4 рівних між собою. На рисунку 188: АВ = ML = NK = DC, AM = BL = CK = DN і AD = ВС = LK = MN. Ребра AM, BL, CK і DN називають ще висотами паралелепіпеда.

З кожної вершини прямокутного паралелепіпеда виходять три ребра. Довжини цих ребер — це довжина, ширина і висота прямокутного паралелепіпеда (рис. 188), або його виміри.

Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда — це сума площ усіх його граней.

Задача 1. Знайди площу поверхні S прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють a, b і с.

Розв’язання. Нехай AB = a, MN = b, AM = c (рис. 188). У двох граней довжини сторін дорівнюють а і b. Площа кожної з них дорівнює ab. Площа кожної з двох наступних граней — bc, а двох, що залишилися, дорівнює ас. Тому площу поверхні S можна знайти так: S = 2ab + 2Ьс + 2ас, або

Прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні, називається кубом (рис. 189). Усі грані куба — рівні квадрати. Очевидно, що площа поверхні куба з ребром а дорівнює:

Ще однією важливою і цікавою фігурою є піраміда (рис. 190—192). Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Бічні грані піраміди — трикутники, що мають спільну вершину, яку називають вершиною піраміди, а основа піраміди — довільний многокутник, протилежний до цієї вершини.

836. Знайди площу однієї грані та площу поверхні куба, ребро якого дорівнює 7 см.

837. Знайди загальну довжину всіх ребер куба, якщо довжина одного ребра:

1) 2 см; 2) 5 дм; 3) 13 мм.

838. Площа однієї грані куба 25 см2. Обчисли площу його поверхні.

839. На рисунку 194 зображено одну з граней куба. Виміряй ребро куба і знайди:

1) суму довжин усіх ребер куба;

2) площу поверхні куба.

840. На рисунку 195 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDEFGH. Назви:

1) усі грані цього паралелепіпеда;

2) усі ребра цього паралелепіпеда;

3) усі вершини цього паралелепіпеда;

4) ребра, що є сторонами грані AEFB;

5) ребра, що дорівнюють ребру НЕ;

6) грань, що дорівнює грані EFGH;

7) грані, яким належить вершина Н;

8) грані, для яких АВ є спільним ребром.

841. Скільки всього у шестикутної піраміди (рис. 190):

1) граней; 2) ребер?

842. Скільки всього у чотирикутної піраміди (рис. 191):

1) граней; 2) ребер?

843. Знайди площі граней ABCD, FBAE, CGFB паралелепіпеда, зображеного на рисунку 195.

844. Обчисли суму довжин усіх ребер та площу поверхні паралелепіпеда, зображеного на рисунку 195.

845. Обчисли площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють:

1) 5 см, 3 см і 2 см; 2) 3 дм, 4 дм і 7 дм.

846. Обчисли суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, довжина якого 8 см, ширина 5 см, висота 3 см.

847. Прямокутний паралелепіпед, склеєний з паперу, розрізали вздовж його ребер. Грані його зображено на рисунку 196.

1) Обчисли площу кожної грані.

2) Скільки квадратних сантиметрів паперу треба для виготовлення цього прямокутного паралелепіпеда (без урахування запасів для склеювання)?

848. Обчисли площу поверхні сірникової коробки або пенала, який має форму прямокутного паралелепіпеда.

849. Знайди площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють:

1) 1 м, 2 дм, 40 см; 2) 80 мм, 5 см, 1 дм.

850. Виміри прямокутного паралелепіпеда 2 см, 4 см і 7 см. Знайди площу:

1) найменшої грані; 2) найбільшої грані.

851. Сума довжин усіх ребер куба 60 дм. Яка довжина одного ребра?

852. Чи можуть деякі 4 грані прямокутного паралелепіпеда мати площі 2 м2, 3 м2, 6 м2 і 7 м2?

853. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда 120 см2, 70 см2 і 84 см2. Обчисли площу його поверхні.

854. Піраміда має 2017 граней. Скільки сторін має многокутник, який є основою піраміди?

855. Основою піраміди є двадцятисемикутник. Скільки граней має ця піраміда?

856. Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 36 дм. Знайди суму довжин трьох його ребер, що виходять з однієї вершини.

857. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 15 см, що на 5 см більше за ширину і в 2 рази менше від довжини. Знайди суму довжин усіх ребер паралелепіпеда та площу його поверхні.

858. Знайди формулу для обчислення суми довжин ребер L прямокутного паралелепіпеда з вимірами a, b і с.

859. Із жерсті виготовлено бак без кришки. Він має форму прямокутного паралелепіпеда, довжина якого 80 см, ширина 50 см, а висота 40 см. Бак треба пофарбувати ззовні та всередині. Яку площу треба пофарбувати?

860. Акваріум має форму прямокутного паралелепіпеда. Його бічні стінки скляні. Визнач площу поверхні скла, якщо довжина акваріума 50 см, ширина 20 см, а висота 40 см.

861. Чи існує піраміда, у якої:

1) 2000 ребер; 2) 2005 ребер?

Якщо відповідь позитивна, вкажи многокутник, який є основою піраміди.

862. Чи існує піраміда, у якої:

1) 107 ребер; 2) 250 ребер?

Якщо відповідь позитивна, вкажи многокутник, який є основою піраміди.

863. Прямокутний паралелепіпед і куб мають рівні площі поверхні. Довжина паралелепіпеда 12 см, що в 3 рази більше за висоту і на 3 см більше за ширину. Знайди ребро куба.

864. Ребро одного куба вдвічі більше за ребро іншого. У скільки разів площа поверхні першого куба більша за площу поверхні другого?

865. Брусок, що має форму прямокутного паралелепіпеда, треба пофарбувати. Виміри бруска 80 см, 70 см і 50 см. Скільки потрібно фарби, якщо на 1 дм2 поверхні витрачають 3 г фарби?

866. Сума всіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 288 см, причому висота вдвічі менша від ширини і втричі менша від довжини. Знайди площу поверхні цього паралелепіпеда.

Вправи для повторення

867. Микита Кожум’яка вичинив 106 шкур. Перші чотири години він вичиняв по 16 шкур за годину, а потім почав вичиняти по 14 шкур за годину. Скільки часу Кожум’яка потратив на вичинку всіх шкур?

868. Склади та розв’яжи задачі за схемами (стрілка спрямована в бік більшого числа):

869. Відстань між Черніговом і Луганськом становить 870 км. О 12 годині із Чернігова в Луганськ виїхав автобус зі швидкістю 85 км/год. О 14 годині з Луганська у Чернігів виїхав автомобіль зі швидкістю 90 км/год. О котрій годині вони зустрінуться?

870. У двох бідонах разом 48 л молока, причому в одному з них удвічі менше, ніж в іншому. Скільки літрів молока в кожному бідоні?

871. Периметр трикутника дорівнює 40 см, одна сторона — а см, а інша — 15 см. Склади вираз для обчислення третьої сторони трикутника. Обчисли її довжину, якщо а = 8. Чи може a дорівнювати 5? дорівнювати 21?

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

Прямокутним паралелепіпедом називають прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник (мал. 462).

Зауважимо, що всі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками, всі двогранні кути прямими.

Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називають вимірами (або лінійними вимірами) прямокутного паралелепіпеда. Зрозуміло, що в даному прямокутному паралелепіпеді чотири ребра мають довжину а, чотири – довжину b; чотири – довжину с.

На практиці часто замість слова «виміри» відносно прямого паралелепіпеда вживають слова «довжина», «ширина», «висота».

Важливими властивостями прямокутного паралелепіпеда є наступні.

1) Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Якщо позначити діагональ В ₁D = d, то маємо формулу

2) Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Крім відомої формули, для знаходження площі повної поверхні S _пов прямокутного паралелепіпеда з вимірами а, b, с можна використовувати формулу

Приклад 1. Довжини основ прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 2 см і 3 см, а діагональ – 7 см. Знайти площу повної поверхні паралелепіпеда.

Розв’язання. 1) а = 2 см; b = 3 см; d = 7 см.

2) Тоді S _пов = 2(2 ∙ 3 + 2 ∙ 6 + 3 ∙ 6) = 72 (см 2 ).

Прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні, називають кубом.

Всі грані куба – рівні один одному квадрати.

Якщо куб має ребро довжиною а, то його повну поверхню S _пов та об’єм V можна знайти за формулами:

Приклад 2. Відро вміщує 9 л води. Скільки відер води необхідно, щоб заповнити скляний куб з ребром 50 см. (округлити до цілих)?

Розв’язання. 1) 9 л = 9 дм 3 ; 50 см = 5 дм.

2) Об’єм куба V = 5 3 = 125 (дм 3 ).

3) Тоді для заповнення скляного куба необхідно:

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.