Скільки граней прямокутної призми
Зміст:
Сколько граней, ребер и вершин у призмы?
По каким формулам можно определить, какое количество граней, ребер и вершин имеет призма?
Например, сколько граней, ребер и вершин у треугольной или шестиугольной призмы?
Общее количество граней, ребер и вершин призмы будет зависеть от ее формы.
Так количество граней равняется количеству боковых граней + количество оснований равняется 2n, где n есть количество ребер в основании.
Количество ребер равняется n x 3, где n есть количество ребер в основании.
Количество вершин равняется (n + 2) x 2, где n есть количество ребер в основании.
Таким образом к примеру, для треугольной призмы (треугольник в основании) количество граней будет равняться 5, количество ребер – 9 и, наконец, количество вершин – 6.
Если взять шестиугольную призму (шестиугольник в основании), то количество граней будет равняться 8, количество ребер – 18, ну а количество вершин – 12.
Призма
Это многогранник, у которой основания являются равными многоугольниками (они находятся в параллельных плоскостях), а боковые грани – параллелограммами.
Так как в качестве основания призмы выступает многоугольник (например, четырехугольник или шестиугольник), то количество граней, ребер и вершин будет зависеть от вида данного многоугольника.
Узнать, сколько граней, ребер и вершин у призмы, можно с помощью формул (n – число сторон у многогранника):
1) Количество граней = n + 2.
n – боковые грани, 2 – основания призмы.
2) Количество ребер = 3n.
Если посмотреть на любую призму, то сразу видно, что из любой вершины выходит по 3 ребра – 1 боковое и 2 в основании.
3) Количество вершин = 2n.
У каждого основания будет n вершин (например, у шестиугольника их 6), а всего оснований у нас 2.
Треугольная призма имеет 3 + 2 = 5 граней, 3 * 3 = 9 ребер и 2 * 3 = 6 вершин.
Четырехугольная призма имеет 4 + 2 = 6 граней, 3 * 4 = 12 ребер и 2 * 4 = 8 вершин.
Шестиугольная призма имеет 6 + 2 = 8 граней, 3 * 6 = 18 ребер и 2 * 6 = 12 вершин.
Мне очень понравился ответ Грустного Роджера, но ведь наименьшее число граней 5 у треугольной пирамиды, вершин 6 тоже у нее и ребер 9, как верно заметил Дмитро Вахмиянин.
Действительно, для любого натурального числа n>2 существует в евклидовом трехмерном пространстве призма с числом сторон многоугольника в основании, равном числу n, и для нее будет верно, что
Количество граней = n+3 (6 для треугольной и 8 для шестиугольной).
Количество ребер = 3n (9 для треугольной и 18 для шестиугольной).
Количество вершин = 2n (6 для треугольной и 12 для шестиугольной).
Лично для меня всегда удивительно, что вершин меньше, чем ребер. Я себя заставил поверить и выучить, что у любого выпуклого многогранника меньше всего количество граней, потом по возрастающей идет количество вершин и больше всего количество ребер. В общем случае, если у выпук. многогранника в каждой вершине пересекается k ребер, то число ребер должно превышать число вершин в k/2 раз. Н Например, для призмы k=3, поэтому неудивительно, что для n-угольной призмы число ребер в полтора раза больше числа вершин. Так уж устроен этот мир.
9.10: Площа поверхні та об’єм призм
Призма – це 3-мірна фігура з 2 конгруентними основами, в паралельних площинях, в яких інші грані є прямокутниками. Малюнок \(\PageIndex\) Небазові грані – це l бічні грані . Краї між бічними гранями – це бічні ребра . Цей конкретний приклад є п’ятикутною призмою, оскільки її основою є п’ятикутник. Призми називаються за формою їх підстави. Призми класифікуються як праві призми (призми, де всі бічні грані перпендикулярні основам), або косі призми (призми, що нахиляються в одну сторону, основою якої є паралелограм, а не прямокутник, і висота яких перпендикулярна площині основи), як показано нижче. Малюнок \(\PageIndex\)
Площа поверхні
Щоб знайти площу поверхні призми, знайдіть суму площ її граней. Бічна площа – це сума площ бічних граней. Основною одиницею площі є квадратна одиниця. \(Surface Area=B_+B_+L_+L_+L_\) \(Lateral Area=L_+L_+L_\) Малюнок \(\PageIndex\)
Обсяг
Щоб знайти обсяг будь-якого твердого тіла, ви повинні з’ясувати, скільки місця воно займає. Основною одиницею об’єму є кубічна одиниця. Зокрема, для призм, щоб знайти обсяг, ви повинні знайти площу підстави і помножити її на висоту. Обсяг призми: \(V=B\cdot h\) , де \(B= area\: of\: base\) . Малюнок \(\PageIndex\) Якщо коса призма і права призма мають однакову площу підстави і висоту, то вони будуть мати однаковий обсяг. Це пов’язано з принципом Кавальєрі, який стверджує, що якщо два твердих тіла мають однакову висоту і однакову площу поперечного перерізу на кожному рівні, то вони матимуть однаковий обсяг. Малюнок \(\PageIndex\) Що робити, якщо вам дали суцільну тривимірну фігуру з двома конгруентними основами, в яких інші грані були прямокутниками? Як ви могли визначити, скільки двовимірного та тривимірного простору займає ця фігура?
Приклад \(\PageIndex<1>\) Загальна площа поверхні трикутної призми дорівнює \(540\text< units>^\) . Що таке \(x\) ? Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Загальна площа поверхні дорівнює: \(A_+A_=540\) Гіпотенуза основ трикутника дорівнює 13, \(5^+12^\) . Давайте заповнимо те, що ми знаємо. Малюнок \(\PageIndex\) \(\begin A_=2(\dfrac<1>\cdot 5\cdot 12)=60 \\ A_&=5x+12x+13x=30x \\ 60+30x &=540 \\ 30x&=480 \\ x&=16\text< units >\qquad \text< The height is 16 units.>\end\)1>
Приклад \(\PageIndex<2>\) Знайдіть обсяг правої прямокутної призми нижче. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Площа \((5)(4)=20\) підстави дорівнює і висоті 3. Отже, загальний обсяг \((20)(3)=60\text< unit>^\)2>
Приклад \(\PageIndex<3>\) Знайдіть площу поверхні призми нижче. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Щоб вирішити, намалюйте сітку призми, щоб ми могли переконатися, що знайдемо площу ВСІХ граней. Використовуючи мережу, ми маємо: \(\begin SA_&=2(4)(10)+2(10)(17)+2(17)(4)\\ &=80+340+136 \\ &=556 \text< cm>^\end\) Малюнок \(\PageIndex\)3>
Приклад \(\PageIndex<4>\) Знайдіть площу поверхні призми нижче. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Це права трикутна призма. Щоб знайти площу поверхні, нам потрібно знайти довжину гіпотенузи підстави, оскільки це ширина однієї з бічних граней. Ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайти цю довжину. Малюнок \(\PageIndex\) \(\begin 7^+24^&=c^ \\ 49+576&=c^ \\ 625&=c^ \qquad c=25\end\) Дивлячись на сітку, площа поверхні становить: \(\begin SA&=28(7)+28(24)+28(25)+2(\dfrac\cdot 7\cdot 24) \\ SA&=196+672+700+168=1736 units^\end\)4>
Приклад \(\PageIndex<5>\) У вас невеликий, трикутний намет у формі призми. Скільки гучності він має після того, як він налаштований? Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Для початку нам потрібно знайти площу підстави. \(\begin B&=\dfrac(3)(4)=6 \text< ft>^ \\ V&=Bh=6(7)=42 \text< ft>^\end\) Незважаючи на те, що висота в цій задачі не виглядає як «висота», це тому, що це перпендикулярний відрізок, що з’єднує дві основи.5>
Рецензія
- Що це за тип призми? Малюнок \(\PageIndex\)
- Намалюйте сітку цієї призми.
- Знайдіть площу підстав.
- Знайдіть площу бічних граней, або площу бічної поверхні.
- Знайти загальну площу поверхні призми.
- Скільки одиничних кубиків може поміститися в коробку шириною 8 дюймів, довжиною 10 дюймів і 12 дюймів заввишки? Це те саме, що і обсяг коробки?
- Зернова коробка шириною 2 дюйми, довжиною 10 дюймів і 14 дюймів заввишки. Скільки крупи вміщує ящик?
- Банка соди має висоту 4 дюйми і має діаметр 2 дюйми. Скільки соди тримає балончик? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.
- Куб тримає \(216\text< in>^\) . Яка довжина кожного краю?
- Куб має сторони, які становлять 8 дюймів. Що таке обсяг?
Використовуйте праву трикутну призму, щоб відповісти на питання 11-15.
- Знайдіть обсяг призми.
- Якої форми мають підстави цієї призми? Які їх області?
- Які розміри кожної з бічних граней? Які їх області?
- Знайдіть площу бічної поверхні призми.
- Знайти загальну площу поверхні призми.
- Опишіть різницю між площею бічної поверхні та загальною площею поверхні.
- Нечіткі кубики – це кубики з 4-дюймовими сторонами. Малюнок \(\PageIndex\)
- Який обсяг і площа поверхні однієї матриці?
- Який обсяг і площа поверхні обох кубиків?
Знайдіть обсяг наступних твердих тіл. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.
- підстави – рівнобедрені трапеції Малюнок \(\PageIndex\)
- Малюнок \(\PageIndex\)
- Малюнок \(\PageIndex\)
- Малюнок \(\PageIndex\)
Знайдіть величину \(x\) , задану площу поверхні.
- \(V=504 \text< unit>^ \) Малюнок \(\PageIndex\)
- \(V=2688\text< unit>^ \) Малюнок \(\PageIndex\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.3.
Лексика
Термін Визначення бічні краї Краї між бічними гранями призми. коса призма Призма, яка нахиляється в одну сторону і висота якої перпендикулярна площині основи. призма являє собою 3-мірну фігуру з 2 конгруентними основами, в паралельних площинам, і в якій інші грані – прямокутники. права призма Призма, де всі бічні грані перпендикулярні основам. Площа поверхні Площа поверхні – це загальна площа всіх поверхонь тривимірного об’єкта. Обсяг Об’єм – це кількість простору всередині меж тривимірного об’єкта. Бічні грані Всі грані призми в стороні від основи відомі як бічні грані. Додаткові ресурси
Відео: Принципи призми – Основні
Види діяльності: Призми Дискусійні питання
Навчальні посібники: посібник з вивчення призм та циліндрів
Практика: Площа поверхні та об’єм призми