Як розвязувати лінійні диференціальні рівняння

0 Comments

Як розвязувати лінійні диференціальні рівняння

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція – підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакти

Адміністратор,
розв’язування задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym

Розв’язування задач
Андрій

facebook:
dniprovets25

8.5: Лінійні рівняння першого порядку

Раніше ми вивчали застосування диференціального рівняння першого порядку, яке передбачало розв’язування швидкості об’єкта. Зокрема, якщо куля кидається вгору з початковою швидкістю \( v_0\) ft/s, то початкова задача, яка описує швидкість кулі через \( t\) секунди, задається

Дана модель передбачає, що єдиною силою, що діє на м’яч, є гравітація. Тепер додамо до проблеми, допускаючи можливість впливу опору повітря на кульку.

Повітряний опір завжди діє в напрямку, протилежному руху. Тому, якщо об’єкт піднімається, опір повітря діє у напрямку вниз. Якщо об’єкт падає, опір повітря діє в напрямку вгору (рис. \( \PageIndex\) ). Немає точної залежності між швидкістю об’єкта і діючим на нього опором повітря. Для дуже маленьких об’єктів опір повітря пропорційно швидкості; тобто сила, обумовлена опором повітря, чисельно дорівнює деяким постійним \( k\) часам \( v\) . Для більших (наприклад, розміром з бейсбол) об’єктів, залежно від форми, опір повітря може бути приблизно пропорційним квадрату швидкості. Насправді опір повітря може бути пропорційним \( v^\) , або \( v^\) , або якоїсь іншої потужності \( v\) .

Малюнок \( \PageIndex\) : Сили, що діють на рухомий бейсбол: гравітація діє в напрямку вниз, а опір повітря діє в напрямку, протилежному напрямку руху.

Ми будемо працювати з лінійним наближенням для опору повітря. Якщо припустити \( k>0\) , то вираз для сили, \( F_A\) обумовленої опором повітря, дається шляхом \( FA_=−kv\) . Тому сума сил, що діють на об’єкт, дорівнює сумі сили тяжіння і сили, обумовленої повітряним опором. Це, в свою чергу, дорівнює масі об’єкта, помноженої на його прискорення в часі \( t\) (другий закон Ньютона). Це дає нам диференціальне рівняння

Нарешті, ми накладаємо початкову умову \( v_0\) , \( v(0)=v_0,\) де початкова швидкість вимірюється в метрах в секунду. Це робить \( g=9.8m/s^2.\) проблему початкового значення стає

Диференціальне рівняння в цій початковій задачі є прикладом лінійного диференціального рівняння першого порядку. (Нагадаємо, що диференціальне рівняння є першим порядком, якщо похідна найвищого порядку, яка з’являється у рівнянні, є \( 1\) .) У цьому розділі ми вивчаємо лінійні рівняння першого порядку та досліджуємо метод пошуку загального розв’язку цих типів рівнянь, а також розв’язання початково-значущих задач із їх залученням.

Визначення: Лінійне диференційне рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння першого порядку є лінійним, якщо його можна записати у вигляді

де \( a(x),b(x),\) і \( c(x)\) є довільними функціями \( x\) .

Пам’ятайте, що невідома функція \( y\) залежить від змінної \( x\) ; тобто \( x\) є незалежною змінною і \( y\) є залежною змінною. Деякі приклади лінійних диференціальних рівнянь першого порядку:

\[ (3x^2−4)y’+(x−3)y=\sin x \nonumber \]

\[ (\sin x)y’−(\cos x)y=\cot x \nonumber \]

\[ 4xy’+(3\ln x)y=x^3−4x. \nonumber \]

Приклади нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку включають

\[(y’)^2=\sin y+\cos x. \nonumber \]

Ці рівняння нелінійні через такі терміни, як \( (y′)^4,y^3,\) і т.д. завдяки цим термінам неможливо поставити ці рівняння в ту ж форму, що і Рівняння.

Стандартна форма

Розглянемо диференціальне рівняння

\[ (3x^2−4)y′+(x−3)y=\sin x. \nonumber \]

Наша головна мета в цьому розділі – вивести метод розв’язку рівнянь такої форми. Корисно, щоб коефіцієнт \( y′\) бути рівним \( 1\) . Щоб це сталося, ділимо обидві сторони на \( 3x^2−4.\)

Це називається стандартною формою диференціального рівняння. Ми будемо використовувати його пізніше при пошуку розв’язку загального лінійного диференціального рівняння першого порядку. Повертаючись до Рівняння, ми можемо розділити обидві сторони рівняння на \( a(x)\) . Це призводить до рівняння

Тоді рівняння\ ref стає

Ми можемо записати будь-яке лінійне диференціальне рівняння першого порядку в цій формі, і це називається стандартною формою для лінійного диференціального рівняння першого порядку.

Приклад \( \PageIndex\) : Writing First-Order Linear Equations in Standard Form

Помістіть кожне з наступних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку в стандартну форму. Визначте \( p(x)\) і \( q(x)\) для кожного рівняння.

Рішення

а. додати \( 4y\) в обидві сторони:

У цьому рівнянні \( p(x)=4\) і\ | (q (x) =3x.\)

б. помножте обидві сторони на \( 4y−3\) , потім відніміть \( 8y\) з кожного боку:

Нарешті, розділіть обидві сторони на, \( 3x\) щоб коефіцієнт \( y’\) дорівнював \( 1\) :

Це допустимо, тому що в первісному постанові цієї проблеми ми припускали, що \( x>0\) . (Якщо \( x=0\) тоді вихідне рівняння стає \( 0=2\) , що явно є помилковим твердженням.)

У цьому рівнянні \( p(x)=−\dfrac\) і \( q(x)=−\dfrac\) .

c Віднімаємо \( y\) з кожного боку і додаємо \( 4x^2−5\) :

Далі розділіть обидві сторони на \( 3\) :

У цьому рівнянні \( p(x)=−\dfrac\) і \( q(x)=\dfracx^2−\dfrac\) .

Вправа \(\PageIndex\)

Помістіть рівняння \( \dfrac=5\) в стандартну форму і визначте \( p(x)\) і \( q(x)\) .

Підказка

Помножте обидві сторони на загальний знаменник, потім зберіть всі члени, що беруть участь з одного \( y\) боку.

Відповідь

Інтеграція факторів

Зараз ми розробляємо методику розв’язання для будь-якого лінійного диференціального рівняння першого порядку. Почнемо зі стандартної форми лінійного диференціального рівняння першого порядку:

Перший член з лівого боку Рівняння є похідною від невідомої функції, а другий – добуток відомої функції з невідомою функцією. Це чимось нагадує правило харчування. Якщо помножити рівняння\ ref на ще не визначену функцію \( μ(x)\) , тоді рівняння стане

Ліва сторона Equation\ ref може бути ідеально підібрана з правилом продукту:

Відповідність терміну за терміном дає \( y=f(x),g(x)=μ(x)\) , і \( g′(x)=μ(x)p(x)\) . Беручи похідну \( g(x)=μ(x)\) і встановивши її рівною правій стороні \( g′(x)=μ(x)p(x)\) призводить до

Це диференціальне рівняння першого порядку для \(μ(x).\) Ми знаємо, \( p(x)\) тому що воно з’являється в диференціальному рівнянні, яке ми розв’язуємо. Розділення змінних та інтеграція прибутковості

Тут \( C_2\) може бути довільна (позитивна або негативна) константа. Це призводить до загального методу розв’язання лінійного диференціального рівняння першого порядку. Спочатку ми помножимо обидві сторони рівняння на коефіцієнт інтегрування \( μ(x).\) Це дає

Ліву частину Equation\ ref можна переписати як \( \dfrac(μ(x)y)\) .

Далі інтегруйте обидві сторони рівняння\ ref щодо \(x\) .

Розділіть обидві сторони рівняння\ ref на \( μ(x)\) :

Так як раніше \( μ(x)\) було розраховано, ми зараз закінчили. Важливе зауваження щодо інтеграційної константи \( C\) : Може здатися, що ми непослідовні у використанні інтеграційної константи. Однак інтегральна участь \( p(x)\) необхідна для того, щоб знайти інтегруючий коефіцієнт для рівняння. Для вирішення рівняння потрібен лише один інтегруючий коефіцієнт; отже, \(C\) для цього інтегралу безпечно привласнювати значення. Ми вибрали \(C=0\) . При обчисленні інтеграла всередині дужок у рівнянні необхідно тримати наші варіанти відкритими для значення інтегруючої константи, оскільки наша мета – знайти загальну сім’ю розв’язків рівняння. Цей інтеграційний фактор гарантує саме це.

Стратегія розв’язання задач: розв’язування лінійного диференціального рівняння першого порядку
  1. Помістіть рівняння в стандартну форму і визначте \( p(x)\) і \( q(x)\) .
  2. Обчисліть коефіцієнт інтеграції \[ μ(x)=e^. \nonumber \]
  3. Помножте обидві сторони диференціального рівняння на \( μ(x)\) .
  4. Інтегруйте обидві сторони рівняння, отриманого в кроці \( 3\) , і розділіть обидві сторони на \( μ(x)\) .
  5. Якщо є початкова умова, визначте значення \( C\) .
Приклад \( \PageIndex\) : Solving a First-order Linear Equation

Знайти загальний розв’язок для диференціального рівняння \( xy’+3y=4x^2−3x.\) Припустимо \( x>0.\)

Рішення

1. Щоб поставити це диференціальне рівняння в стандартну форму, розділіть обидві сторони на \( x\) :

2. Інтеграційним фактором є \( μ(x)=e^<∫(3/x)>dx=e^=x^3\) .

3. Множення обох сторін диференціального рівняння на \( μ(x)\) дає нам

4. Інтегруйте обидві сторони рівняння.

5. Початкового значення немає, тому проблема завершена.

Аналіз

Можливо, ви помітили умову, яка була накладена на диференціальне рівняння; а саме, \( x>0\) . Для будь-якого ненульового \( C\) значення загального розв’язку не визначено в \( x=0\) . Крім того \( x\) . За це \( p(x)\) отримуємо

Вправа \(\PageIndex\)

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння \( (x−2)y’+y=3x^2+2x.\) Припустимо \( x>2\) .

Підказка

Використовувати метод, викладений у стратегії розв’язання задач для лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

Відповідь

Тепер ми використовуємо ту саму стратегію, щоб знайти рішення початкової задачі.

Приклад \( \PageIndex\) : A First-order Linear Initial-Value Problem

Вирішити задачу початкового значення

Рішення

1. Це диференціальне рівняння вже в стандартній формі з \( p(x)=3\) і \( q(x)=2x−1\) .

2. Інтеграційним фактором є \( μ(x)=e^=e^\) .

3. Множення обох сторін диференціального рівняння на \( μ(x)\) дані

Інтегруйте обидві сторони рівняння:

4. Тепер \( y=3\) підставляємо \( x=0\) і в загальне рішення і вирішуємо для \( C\) :

Тому вирішенням початкової задачі є

Приклад \(\PageIndex\) :

Вирішити задачу початкового значення \[ y’−2y=4x+3y(0)=−2. \nonumber \]

Рішення

Застосування лінійних диференціальних рівнянь першого порядку

Ми розглядаємо два різних застосування лінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Перший передбачає опір повітря, оскільки він відноситься до предметів, які піднімаються або падають; другий передбачає електричний ланцюг. Інші додатки численні, але більшість вирішуються подібним чином.

Вільне падіння з опором повітря

Опір повітря ми обговорювали на початку цього розділу. Наступний приклад показує, як застосовувати це поняття для кулі у вертикальному русі. Інші фактори можуть впливати на силу опору повітря, такі як розмір і форма об’єкта, але ми їх тут ігноруємо.

Приклад \( \PageIndex\) : A Ball with Air Resistance

Ракетбол потрапляє прямо вгору з початковою швидкістю \( 2\) м/с, маса ракетболу приблизно \( 0.0427\) кг. Повітряний опір діє на кулю з силою \( 0.5v\) , чисельно рівною, де \( v\) представляє швидкість кулі в той час \( t\) .

  1. Знайти швидкість кулі в залежності від часу.
  2. Скільки часу потрібно, щоб м’яч досяг максимальної висоти?
  3. Якщо м’яч потрапив з початкової висоти \( 1\) метра, наскільки високо він досягне?

Рішення

а. маса \( m=0.0427kg,k=0.5,\) і \( g=9.8m/s^2\) . Початкова швидкість дорівнює \( v_0=2 m/s\) . Тому проблема початкового значення

Ділення диференціального рівняння на \( 0.0427\) дає

Диференціальне рівняння лінійне. Використання стратегії розв’язання задач для лінійних диференціальних рівнянь:

Крок 1. Перепишіть диференціальне рівняння як \( \dfrac+11.7096v=−9.8\) . Це дає \( p(t)=11.7096\) і \( q(t)=−9.8\)

Крок 2. Інтеграційним фактором є \( μ(t)=e^=e^.\)

Крок 3. Помножте диференціальне рівняння на \( μ(t)\) :

Крок 4. Інтегруйте обидві сторони:

Крок 5. Вирішити для \( C\) використання початкової умови \( v_0=v(0)=2\) :

Тому вирішенням початкової задачі є

б. максимальної висоти куля досягає, коли швидкість дорівнює нулю. Причина в тому, що коли швидкість позитивна, вона зростає, а коли негативна – падає. Тому, коли він дорівнює нулю, він ні піднімається, ні падає, і знаходиться на максимальній висоті:

Тому для досягнення максимальної висоти потрібно приблизно \( 0.104\) секунда.

c Щоб знайти висоту кулі в залежності від часу, використовуйте той факт, що похідною від положення є швидкість, тобто якщо \( h(t)\) представляє висоту в часі \( t\) , то \( h′(t)=v(t)\) . Оскільки ми знаємо \( v(t)\) і початкову висоту, ми можемо сформувати початкову задачу:

Інтеграція обох сторін диференціального рівняння щодо \( t\) дає

Вирішити для \( C\) , використовуючи початкову умову:

17.1: Лінійні рівняння другого порядку

При роботі з диференціальними рівняннями зазвичай метою є пошук рішення. Іншими словами, ми хочемо знайти функцію (або функції), яка задовольняє диференціальному рівнянню. Техніка, яку ми використовуємо для пошуку цих розв’язків, змінюється залежно від форми диференціального рівняння, з яким ми працюємо. Диференціальні рівняння другого порядку мають кілька важливих характеристик, які можуть допомогти нам визначити, який метод рішення використовувати. У цьому розділі ми розглянемо деякі з цих характеристик та пов’язану з ними термінологію.

Однорідні лінійні рівняння

Розглянемо диференціальне рівняння другого порядку

Зверніть увагу, що \(y\) і його похідні з’являються у відносно простій формі. Вони множаться на функції \(x\) , але не піднімаються ні до яких сил самі, а також не множаться разом. Як обговорювалося раніше, рівняння першого порядку з подібними характеристиками вважаються лінійними. Те ж саме стосується рівнянь другого порядку. Також зверніть увагу, що всі члени цього диференціального рівняння включають \(y\) або одну з його похідних. Не існує термінів, що стосуються тільки функцій \(x\) . Подібні рівняння, в яких кожен член містить \(y\) або одна з його похідних, називаються однорідними.

Не всі диференціальні рівняння однорідні. Розглянемо диференціальне рівняння

\(x^2\) Термін з правого боку знака рівності не містить \(y\) жодної його похідної. Тому це диференціальне рівняння неоднорідне.

Означення: Однорідні та неоднорідні лінійні рівняння

Диференціальне рівняння другого порядку є лінійним, якщо його можна записати у вигляді

де \(a_(x), a_(x), a_(x),\) і \(r(x)\) є дійсними функціями і \(a_(x)\) не однаково дорівнює нулю. Якщо \(r(x) \equiv 0\) —іншими словами, якщо \(r(x)=0\) для кожного значення \(x\) —рівняння вважається однорідним лінійним рівнянням. Якщо \(r(x) \neq 0\) для деякого значення \(x,\) рівняння вважається неоднорідним лінійним рівнянням.

У лінійних диференціальних рівняннях \(y\) і його похідні можуть підніматися тільки до першого ступеня і їх не можна множити один на одного. Терміни, що включають \(y^2\) або \(\sqrt\) роблять рівняння нелінійним. Функції \(y\) та його похідні, такі як \(\sin y\) або \(e^\) , аналогічно заборонені в лінійних диференціальних рівняннях.

Відзначимо, що рівняння не завжди можуть бути наведені в стандартному вигляді (вид, показаний у визначенні). Це може бути корисно переписати їх у такому вигляді, щоб вирішити, чи є вони лінійними, чи лінійне рівняння є однорідним.

Приклад \(\PageIndex\) : Classifying Second-Order Equations

Класифікуйте кожне з наступних рівнянь як лінійне або нелінійне. Якщо рівняння лінійне, визначте далі, чи є воно однорідним або неоднорідним.

  1. \(y”+3x^4y’+x^2y^2=x^3\)
  2. \((\sin x)y”+(\cos x)y’+3y=0\)
  3. \(4t^2x”+3txx’+4x=0\)
  4. \(5y”+y=4x^5 \)
  5. \(( \cos x)y”- \sin y’+( \sin x)y- \cos x=0\)
  6. \(8ty”-6t^2y’+4ty-3t^2=0 \)
  7. \( \sin(x^2)y”-( \cos x)y’+x^2y=y’-3 \)
  8. \(y”+5xy’-3y= \cos y\)

Рішення

  1. Це рівняння нелінійне через \(y^2\) терміна.
  2. Це рівняння лінійне. Не існує жодного члена, що включає ступінь або функцію, \(y,\) а коефіцієнти – це всі функції \(x\) . Рівняння вже записано в стандартній формі, і однаково \(r(x)\) дорівнює нулю, тому рівняння однорідне.
  3. Це рівняння нелінійне. Зверніть увагу, що в даному випадку \(x\) є залежною змінною і \(t\) є незалежною змінною. Другий член включає добуток \(x\) і \(x’\) , тому рівняння нелінійне.
  4. Це рівняння лінійне. Так як \(r(x)=4x^5,\) рівняння неоднорідне.
  5. Це рівняння нелінійне, через \(\sin y’\) терміна.
  6. Це рівняння лінійне. Переписування його в стандартному вигляді дає \[8t^2y”-6t^2y’+4ty=3t^2. \nonumber \] За допомогою рівняння в стандартній формі ми бачимо, що \(r(t)=3t^2,\) таким чином рівняння неоднорідне.
  7. Це рівняння виглядає як лінійне, але ми повинні переписати його в стандартній формі, щоб бути впевненим. Ми отримуємо \[ \sin(x^2)y”-(\cos x+1)y’+x^2y=-3. \nonumber \] Це рівняння, дійсно, лінійне. З \(r(x)=-3,\) ним неоднорідний.
  8. Це рівняння нелінійне через \(\cos y\) терміна.
Вправа \(\PageIndex\)

Класифікуйте кожне з наступних рівнянь як лінійне або нелінійне. Якщо рівняння лінійне, визначте далі, чи є воно однорідним або неоднорідним.

При необхідності запишіть рівняння в стандартному вигляді (Equation\ ref ). Перевірте повноваження або функції \(y\) та його похідні.

Відповідь

Відповідь б

Пізніше в цьому розділі ми побачимо деякі методи розв’язання конкретних типів диференціальних рівнянь. Перш ніж ми перейдемо до цього, однак, давайте відчуємо, як поводяться рішення лінійних диференціальних рівнянь. У багатьох випадках рішення диференціальних рівнянь залежить від створення освічених здогадок про те, як може виглядати рішення. Знання того, як поводяться різні типи рішень, буде корисно.

Приклад \(\PageIndex\) : Verifying a Solution

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння

Дивлячись на це рівняння, зверніть увагу, що функції коефіцієнта є поліномами, з вищими ступенями, \(x\) пов’язаними з похідними вищого порядку \(y\) . Показати, що \(y=x^3\) є розв’язком цього диференціального рівняння.

Рішення

Нехай \(y=x^3.\) тоді \(y’=3x^2\) і \(y”=6x.\) підставляючи в диференціальне рівняння, ми бачимо, що

Вправа \(\PageIndex\)

Показати, що \(y=2x^2\) є розв’язком диференціального рівняння

Підказка

Обчисліть похідні і підставити їх в диференціальне рівняння.

Відповідь

Для цього потрібен розрахунок \(y’\) і \(y”\) .

\[y’ = \dfrac = 4x \nonumber \]

\(y=2x^2\) Вставляємо ці похідні разом з рівнянням\ ref .

\[\begin \dfracx^2y”-xy’+y &\overset 0 \\[4pt] \dfracx^2(4) – x (4x) + 2x^2 &\overset 0 \\[4pt] 2x^2 – 4x^2 + 2x^2 &\overset 0 \end \nonumber \]

Так, це рішення диференціального рівняння в Equation\ ref .

Хоча просто знайти будь-яке рішення диференціального рівняння важливо, математики та інженери часто хочуть вийти за рамки пошуку одного рішення диференціального рівняння до пошуку всіх рішень диференціального рівняння. Іншими словами, ми хочемо знайти загальне рішення. Як і у випадку з диференціальними рівняннями першого порядку, загальне рішення (або сімейство розв’язків) дає весь набір розв’язків диференціального рівняння. Важливою відмінністю між рівняннями першого та другого порядку є те, що для рівнянь другого порядку зазвичай потрібно знайти два різні рішення рівняння, щоб знайти загальне рішення. Якщо знайти два рішення, то будь-яка лінійна комбінація цих рішень теж є рішенням. Ми констатуємо цей факт як наступну теорему.

Теорема: ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦІЇ

Якщо \(y_1(x)\) і \(y_2(x)\) є розв’язками лінійного однорідного диференціального рівняння, то функція

де \(c_1\) і \(c_2\) є константами, також є рішенням.

Доказ цієї теореми про принцип суперпозиції залишається як вправа.

Приклад \(\PageIndex\) : Verifying the Superposition Principle

Розглянемо диференціальне рівняння

Враховуючи, що \(e^\) і \(e^\) є розв’язками цього диференціального рівняння, показують, що \(4e^+e^\) це рішення.

Рішення

Хоча це можна зробити за допомогою простого застосування принципу суперпозиції (Equation\ ref ), але ми також можемо підтвердити, що це рішення за допомогою підходу, як у прикладі \(\PageIndex\) . У нас є

Таким чином, \(y(x)=4e^+e^\) є рішення.

Вправа \(\PageIndex\)

Розглянемо диференціальне рівняння

Враховуючи, що \(e^\) і \(e^\) є розв’язками цього диференціального рівняння, показують, що \(3e^+6e^\) це рішення.

Підказка

Диференціювати функцію і підставити в диференціальне рівняння.

Відповідь

Хоча це може бути простим застосуванням принципу суперпозиції (Equation\ ref ), ми також можемо встановити його, як у прикладі \(\PageIndex\) . У нас є

Таким чином, \(3e^+6e^\) є розв’язком диференціального рівняння

На жаль, щоб знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку, недостатньо знайти будь-які два розв’язки і потім об’єднати їх. Розглянемо диференціальне рівняння

Обидва \(e^\) і \(2e^\) є рішеннями (ви можете перевірити це). Однак,

не є загальним рішенням. Цей вираз враховує не всі розв’язки диференціального рівняння. Зокрема, він не враховує функцію, \(e^,\) яка також є розв’язком диференціального рівняння. Виявляється, щоб знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку, ми повинні знайти два лінійно незалежних розв’язку. Ми визначаємо цю термінологію тут.

Визначення: Лінійно залежні функції

Набір функцій \(f_1(x),\, f_2(x), \ldots ,f_n(x)\) , як кажуть, лінійно залежний, якщо є константи \(c_1,\, c_2, \ldots c_n,\) , а не всі нуль, такі, що

\[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+ \cdots +c_nf_n(x)=0 \nonumber \]

\(x\) за весь інтервал інтересу. Набір функцій, який не є лінійно залежним, вважається лінійно незалежним.

У цьому розділі ми зазвичай тестуємо набори тільки двох функцій на лінійну незалежність, що дозволяє спростити це визначення. З практичної точки зору ми бачимо, що дві функції лінійно залежать, якщо одна з них однаково нульова, або якщо вони є постійними кратними один одному.

Спочатку ми покажемо, що якщо функції відповідають умовам, наведеним раніше, то вони лінійно залежні. Якщо одна з функцій однаково нульова — скажімо, \(f_2(x) \equiv 0\) —тоді вибираємо \(c_1=0\) і \(c_2=1,\) і умова лінійної залежності задовольняється. Якщо ж, з іншого боку, \(f_1(x)\) ні \(f_2(x)\) однаково нуль, а \(f_1(x)=Cf_2(x)\) для якоїсь постійної \(C,\) то вибираємо \(c_1=C\) \(c_2=-1,\) і знову умова виконується.

Далі ми покажемо, що якщо дві функції лінійно залежні, то або одна однаково дорівнює нулю, або вони є постійними кратними одна одній. Припустимо \(f_1(x)\) і \(f_2(x)\) є лінійно незалежними. Тоді, є константи, \(c_1\) а \(c_2,\) не обидва нуль, такі, що

\(x\) за весь інтервал інтересу. Потім,

Тепер, так як ми заявили, що \(c_1\) і не \(c_2\) може бути нулем, припустимо, \(c_2 \neq 0.\) Тоді, є два випадки: \(c_1=0\) або \(c_1\neq 0.\) Якщо \(c_1=0,\) тоді

так що одна з функцій однаково нуль. Тепер припустимо \(c_1 \neq 0.\) тоді,

\[f_1(x)=\left(- \dfrac\right)f_2(x) \nonumber \]

і ми бачимо, що функції є постійними кратними один одному.

Теорема: Лінійна залежність двох функцій

Дві функції, \(f_1(x)\) і, як кажуть, \(f_2(x),\) є лінійно залежними, якщо одна з них однаково дорівнює нулю або якщо \(f_1(x)=Cf_2(x)\) для деякої константи \(C\) і \(x\) для всього інтервалу інтересу. Функції, які не є лінійно залежними, кажуть, є лінійно незалежними.

Приклад \(\PageIndex\) : Testing for Linear Dependence

Визначте, чи є наступні пари функцій лінійно залежними або лінійно незалежними.

  1. \(f_1(x)=x^2\) і \(f_2(x)=5x^2\)
  2. \(f_1(x)= \sin x\) і \(f_2(x)= \cos x\)
  3. \(f_1(x)=e^\) і \(f_2(x)=e^\)
  4. \(f_1(x)=3x\) і \(f_2(x)=3x+1\)

Рішення

  1. \(f_2(x)=5f_1(x),\) тому функції лінійно залежать.
  2. Немає \(C\) такої постійної, що \(f_1(x)=Cf_2(x),\) так функції лінійно незалежні.
  3. Немає \(C\) такої постійної, що \(f_1(x)=Cf_2(x),\) так функції лінійно незалежні. Не плутайте той факт, що експоненти є постійними кратними один одному. З двома експоненціальними функціями, якщо показники не рівні, функції лінійно незалежні.
  4. Немає \(C\) такої постійної, що \(f_1(x)=Cf_2(x),\) так функції лінійно незалежні.
Вправа \(\PageIndex\)

Визначте, чи є наступні пари функцій лінійно залежними або лінійно незалежними: \(f_1(x)=e^\) і \(f_2(x)=3e^.\)

Підказка

Чи є функції постійними кратними один одному?

Відповідь

Якщо нам вдасться знайти два лінійно незалежних розв’язку диференціального рівняння другого порядку, то ми можемо об’єднати їх, щоб знайти загальне рішення. Цей результат формально викладено в наступній теоремі.

Теорема: Загальний розв’язок однорідного рівняння

Якщо \(y_1(x)\) і \(y_2(x)\) є лінійно незалежними розв’язками лінійного, однорідного диференціального рівняння другого порядку, то загальне рішення задається

де \(c_1\) і \(c_2\) є константами.

Коли ми говоримо, що сімейство функцій є загальним рішенням диференціального рівняння, ми маємо на увазі, що

  1. кожен вираз цієї форми – це рішення і
  2. кожне рішення диференціального рівняння може бути записано в такому вигляді, що робить цю теорему надзвичайно потужною.

Якщо ми можемо знайти два лінійно незалежних розв’язки диференціального рівняння другого порядку, ми фактично знайшли всі розв’язки диференціального рівняння другого порядку — досить примітне твердження. Доказ цієї теореми виходить за рамки цього тексту.

Приклад \(\PageIndex\) : Writing the General Solution

Якщо \(y_1(t)=e^\) і \(y_2(t)=e^\) є рішеннями, \(y”-9y=0,\) яке загальне рішення?

Рішення

Зверніть увагу, що \(y_1\) і не \(y_2\) є постійними кратними один одному, тому вони лінійно незалежні. Тоді загальне рішення диференціального рівняння

Вправа \(\PageIndex\)

Якщо \(y_1(x)=e^\) і \(y_2(x)=xe^\) є рішеннями, \(y”-6y’+9y=0,\) яке загальне рішення?

Підказка

Спочатку перевірте лінійну незалежність.

Відповідь

Рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Тепер, коли ми краще відчуваємо лінійні диференціальні рівняння, ми збираємося зосередитися на вирішенні рівнянь другого порядку у вигляді.

де \(a, b,\) і \(c\) є константами.

Оскільки всі коефіцієнти є константами, то розв’язками, ймовірно, будуть функції з похідними, які є постійними кратними собі. Нам потрібні всі терміни, щоб скасувати, і якщо прийняття похідної вводить термін, який не є постійним кратним початковій функції, важко зрозуміти, як цей термін скасовується. Експоненціальні функції мають похідні, які є постійними кратними вихідної функції, тому давайте подивимося, що відбувається, коли ми спробуємо рішення виду \(y(x)=e^< \lambda x>\) , де \(\lambda\) (мала грецька літера лямбда) є деякою константою.

Якщо \(y(x)=e^< \lambda x>\) , то \(y'(x)= \lambda e^< \lambda x>\) і \(y”= \lambda^2 e^< \lambda x>.\) підставляючи ці вирази в рівняння\ ref , отримаємо

Оскільки ніколи не \(e\lambda x\) дорівнює нулю, цей вираз може дорівнювати нулю для всіх, \(x\) тільки якщо

\[a\lambda 2+b\lambda +c=0. \nonumber \]

Ми називаємо це характеристичним рівнянням диференціального рівняння.

Визначення: характеристичне рівняння

Характеристичне рівняння диференціального рівняння другого порядку \(ay”+by’+cy=0\) дорівнює

\[a\lambda^2+b\lambda +c=0. \nonumber \]

Характеристичне рівняння дуже важливо при знаходженні розв’язків диференціальних рівнянь такої форми. Ми можемо вирішити характеристичне рівняння або факторингом, або за допомогою квадратичної формули

Це дає три випадки. Характерне рівняння має

  1. виразні справжні коріння;
  2. єдиний, повторюваний справжній корінь; або
  3. складні сполучені коріння.

Розглянемо кожен з цих випадків окремо.

Випадок 1: Чіткі реальні корені

Якщо характеристичне рівняння має чіткі дійсні \(\lambda_1\) корені \(e^<\lambda_1x>\) і \(\lambda_2\) , то і \(e^<\lambda_2x>\) є лінійно незалежними розв’язками до Прикладу\ ref , а загальне рішення задається

де \(c_1\) і \(c_2\) є константами.

Наприклад, диференціальне рівняння \(y”+9y’+14y=0\) має пов’язане характеристичне рівняння \(\lambda^2+9\lambda+14=0.\) Цей коефіцієнт, в \((\lambda +2)(\lambda +7)=0,\) який має коріння \(\lambda_1=-2\) і \(\lambda_2=-7.\) Тому загальним рішенням цього диференціального рівняння є

Випадок 2: Один повторюваний реальний корінь

Все трохи складніше, якщо характеристичне рівняння має повторюваний реальний корінь, \(\lambda\) . У цьому випадку ми знаємо, що \(e^<\lambda x>\) це рішення Equation\ ref , але це лише одне рішення, і нам потрібні два лінійно незалежних рішення для визначення загального розв’язку. У нас може виникнути спокуса спробувати функцію форми, \(ke^<\lambda x>,\) де \(k\) є якась постійна, але вона не буде лінійно незалежною від \(e^<\lambda x>.\) Тому давайте спробуємо \(xe^<\lambda x>\) як друге рішення. По-перше, зверніть увагу, що за квадратичною формулою

Але, \(\lambda\) є повторюваним коренем, тому дискримінат ( \(b^2-4ac\) ) дорівнює нулю і \(\lambda = \frac\) . Таким чином, якщо \(y=xe^<\lambda x>\) , ми маємо

Підставляючи обидва вирази в Equation\ ref , ми бачимо, що

Це показує, що \(xe^<\lambda x>\) є розв’язком рівняння\ ref . Оскільки \(e^<\lambda x>\) і \(xe^<\lambda x>\) є лінійно незалежними, коли характеристичне рівняння має повторюваний корінь \(\lambda \) , загальне рішення Equation\ ref задається

де \(c_1\) і \(c_2\) є константами.

Наприклад, диференціальне рівняння \(y”+12y’+36y=0\) має пов’язане характеристичне рівняння

\[\lambda^2+12 \lambda +36=0.\nonumber \]

Це фактори \((\lambda +6)^2=0,\) , в які має повторний корінь \(\lambda =-6\) . Тому загальним рішенням цього диференціального рівняння є

Випадок 3: Складні сполучені коріння

Третій випадок, який ми повинні розглянути, це коли \(b^2-4ac \) щоб знайти коріння, які приймають форму \(\lambda_1= \alpha + \beta i \) і \(\lambda _2=\alpha -\beta i.\) Комплексне число \( \alpha +\beta i\) називається сполученим з \( \alpha -\beta i\) . Таким чином, ми бачимо, що коли дискримінат \(b^2-4ac\) негативний, коріння нашого характеристичного рівняння завжди є складними сполученнями.

Це створює для нас трохи проблеми. Якщо ми дотримуємося того самого процесу, який ми використовували для різних дійсних коренів – використовуючи коріння характеристичного рівняння як коефіцієнти в показниках експоненціальних функцій – ми отримуємо функції \(e^<(\alpha + \beta i)x>\) і \(e^<(\alpha - \beta i)x>\) як наші розв’язки. Однак при такому підході є проблеми. По-перше, ці функції приймають складні (уявні) значення, і повне обговорення таких функцій виходить за рамки цього тексту. По-друге, навіть якщо ми були зручні з функціями комплексного значення, в цьому курсі ми не звертаємося до ідеї похідної для таких функцій. Отже, якщо це можливо, ми хотіли б знайти два лінійно незалежних реальних рішення диференціального рівняння. Для цілей цієї розробки ми будемо маніпулювати та диференціювати функції \(e^<(\alpha + \beta i)x>\) і \(e^<(\alpha - \beta i)x>\) ніби вони були функціями реального значення. Для цих функцій цей підхід діє математично, але майте на увазі, що є й інші випадки, коли функції комплексного значення не дотримуються тих самих правил, що й функції реального значення. Ті з вас, хто зацікавлений у більш глибокому обговоренні функцій комплексного значення, повинні проконсультуватися з текстом складного аналізу.

Виходячи \(\alpha \pm \beta i\) з коренів характеристичного рівняння, функції \(e^<(\alpha + \beta i)x>\) і \(e^<(\alpha - \beta i)x>\) є лінійно незалежними розв’язками диференціального рівняння, а загальний розв’язок задається

Використовуючи деякі розумні варіанти для \(c_1\) і \(c_2\) , і трохи алгебраїчної маніпуляції, ми можемо знайти два лінійно незалежних, реальних рішення рівняння\ ref і висловити наше загальне рішення в цих умовах.

Раніше ми стикалися з експоненціальними функціями зі складними показниками. Одним з ключових інструментів, які ми використовували для вираження цих експоненціальних функцій у терміні синусів і косинусів, була формула Ейлера, яка говорить нам, що

для всіх дійсних чисел \(\theta \) .

Повертаючись до загального рішення, ми маємо

Застосовуючи формулу Ейлера (Equation\ ref ) разом з тотожностями \(\cos(-x)=\cos x\) і \(\sin(-x)=- \sin x,\) отримаємо

\[\begin y(x) &=e^[c_1(\cos \beta x+i \sin \beta x)+c_2(\cos(- \beta x)+i \sin(- \beta x))] \nonumber \\[4pt] &=e^[(c_1+c_2)\cos \beta x+(c_1-c_2)i \sin \beta x]. \label\end \]

Тепер, якщо ми \(c_1=c_2= \frac,\) виберемо другий член дорівнює нулю, і ми отримаємо

\[y(x)=e^ \cos \beta x \nonumber \]

як реальне рішення рівняння\ ref . Аналогічно, якщо ми виберемо \(c_1=−\frac\) і \(c_2=\frac\) , то перший член Equation\ ref дорівнює нулю і ми отримаємо

\[y(x)=e^ \sin \beta x \nonumber \]

як другий лінійно незалежний, реальний розв’язок рівняння\ ref .

Виходячи з цього, ми бачимо, що якщо характеристичне рівняння має складні сполучені коріння, \(\alpha \pm \beta i,\) то загальний розв’язок Equation\ ref задається

\[\begin y(x) &=c_1e^ \cos \beta x+c_2e^ \sin \beta x \\[4pt] &=e^(c_1 \cos \beta x+c_2 \sin \beta x),\end\]

де \(c_1\) і \(c_2\) є константами.

Наприклад, диференціальне рівняння \(y”-2y’+5y=0\) має пов’язане характеристичне рівняння \(\lambda ^2-2 \lambda +5=0.\) За квадратичною формулою коріння характеристичного рівняння є \(1\pm 2i.\) Отже, загальним рішенням цього диференціального рівняння є

\[y(x)=e^(c_1 \cos 2x+c_2 \sin 2x).\nonumber \]

Підсумок результатів

Ми можемо вирішити лінійні, однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами шляхом знаходження коренів асоційованого характеристичного рівняння. Форма загального рішення змінюється залежно від того, чи має характеристичне рівняння чіткі, реальні корені; одиночний, повторюваний реальний корінь; або складні сполучені коріння. Три випадки зведені в табл \(\PageIndex\) .

Таблиця \(\PageIndex\) : Зведення випадків характерних рівнянь

Характеристичне рівняння КорінняЗагальний розв’язок диференціального рівняння
Чіткі справжні коріння, \(\lambda_1\) і \(\lambda_2\)\(y(x)=c_1e^<\lambda_1x>+c_2e^<\lambda_2x>\)
Повторний справжній корінь, \(\lambda \)\(y(x)=c_1e^<\lambda x>+c_2xe^<\lambda x>\)
Складні сполучені коріння \(\alpha \pm \beta i\)\(y(x)=e^(c_1 \cos \beta x+c_2 \sin \beta x)\)
СТРАТЕГІЯ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ: ВИКОРИСТАННЯ ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО РІВНЯННЯ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
  1. Запишіть диференціальне рівняння у вигляді \(a”+by’+cy=0.\)
  2. Знайти відповідне характеристичне рівняння \(a\lambda^2+b\lambda +c=0.\)
  3. Або вкажіть характеристичне рівняння, або використовуйте квадратичну формулу для пошуку коренів.
  4. Визначте форму загального рішення на основі того, чи має характеристичне рівняння чіткі, реальні корені; єдиний, повторюваний реальний корінь; або складні сполучені коріння.
Приклад \(\PageIndex\) : Solving Second-Order Equations with Constant Coefficients

Знайдіть загальний розв’язок наступних диференціальних рівнянь. Дайте свої відповіді як функції \(x\) .

  1. \(y”+3y’-4y=0\)
  2. \(y”+6y’+13y=0\)
  3. \(y”+2y’+y=0\)
  4. \(y”-5y’=0\)
  5. \(y”-16y=0\)
  6. \(y”+16y=0\)

Рішення

Зверніть увагу, що всі ці рівняння вже наведені в стандартному вигляді (крок 1).

  1. Характерне рівняння є \(\lambda^2+3\lambda -4=0\) (крок 2). Це фактори в \((\lambda +4)(\lambda -1)=0\) , тому корінням характеристичного рівняння є \(\lambda_1=-4\) і \(\lambda_2=1\) (крок 3). Тоді загальне рішення диференціального рівняння \[y(x)=c_1e^+c_2e^. \tag \]
  2. Характерне рівняння є \(\lambda^2+6\lambda+13=0\) (крок 2). Застосовуючи квадратичну формулу, ми бачимо, що це рівняння має складні сполучені коріння \(-3\pm 2i\) (крок 3). Тоді загальне рішення диференціального рівняння \[y(t)=e^(c_1 \cos 2t+c_2 \sin 2t). \tag \]
  3. Характерне рівняння є \(\lambda^2+2\lambda+1=0\) (крок 2). Цей коефіцієнт в \((\lambda+1)2=0,\) тому характеристичне рівняння має повторюваний дійсний корінь \(\lambda =-1\) (крок 3). Тоді загальне рішення диференціального рівняння \[y(t)=c_1e^+c_2te^. \tag \]
  4. Характерне рівняння є \(\lambda^2-5\lambda\) (крок 2). Це фактори в \(\lambda(\lambda -5)=0,\) так коріння характеристичного рівняння \(\lambda_1=0\) і \(\lambda_2=5\) (крок 3). Зауважимо \(e^=e^=1\) , що, тому наше перше рішення – це просто константа. Тоді загальне рішення диференціального рівняння \[y(x)=c_1+c_2e^. \tag \]
  5. Характерне рівняння є \(\lambda^2-16=0\) (крок 2). Це фактори в \((\lambda+4)(\lambda -4)=0,\) так коріння характеристичного рівняння \(\lambda_1=4\) і \(\lambda_2=-4\) (крок 3). Тоді загальне рішення диференціального рівняння \[y(x)=c_1e^+c_2e^. \tag \]
  6. Характерне рівняння є \(\lambda^2+16=0\) (крок 2). Це має складні сполучені коріння \(\pm 4i\) (крок 3). Зауважимо \(e^=e^0=1\) , що, тому експоненціальний термін в нашому рішенні є просто константою. Тоді загальне рішення диференціального рівняння \[y(t)=c_1 \cos 4t+c_2 \sin 4t. \tag \]
Вправа \(\PageIndex\)

Знайдіть загальний розв’язок наступних диференціальних рівнянь:

Знайдіть коріння характеристичного рівняння.

Відповідь

\(y(x)=e^x(c_1 \cos 3x+c_2 \sin 3x)\)

Відповідь б

Початкові задачі та крайові задачі

Поки що ми знаходимо загальні розв’язки диференціальних рівнянь. Однак диференціальні рівняння часто використовуються для опису фізичних систем, і людина, яка вивчає цю фізичну систему, зазвичай знає щось про стан цієї системи в один або кілька моментів часу. Наприклад, якщо диференціальне рівняння з постійним коефіцієнтом представляє, наскільки стиснутий амортизатор мотоцикла, ми можемо знати, що гонщик сидить нерухомо на своєму мотоциклі на початку гонки, час \(t=t_0.\) Це означає, що система знаходиться в рівновазі, так \(y(t_0)=0,\) і стиснення амортизатор не змінюється, тому \(y'(t_0)=0.\) при цих двох початкових умовах і загальному розв’язку диференціального рівняння ми можемо знайти конкретне рішення диференціального рівняння, яке задовольняє обом початковим умовам. Цей процес відомий як вирішення проблеми початкового значення. (Нагадаємо, що ми обговорювали початкові задачі у Введенні до диференціальних рівнянь.) Зауважимо, що рівняння другого порядку мають дві довільні константи в загальному розв’язку, і тому нам потрібні дві початкові умови для пошуку розв’язку початкової задачі.

Іноді ми знаємо стан системи в два різних часу. Наприклад, ми можемо знати \(y(t_0)=y_0\) і \(y(t_1)=y_1.\) Ці умови називаються граничними умовами, а знаходження розв’язку диференціального рівняння, яке задовольняє граничним умовам, називається розв’язанням крайової задачі.

Математики, вчені та інженери зацікавлені в розумінні умов, при яких початково-ціннісна задача або крайова задача має унікальне рішення. Хоча повне звернення до цієї теми виходить за рамки цього тексту, корисно знати, що в контексті рівнянь постійного коефіцієнта другого порядку задачі початкового значення гарантовано матимуть унікальне рішення до тих пір, поки передбачено дві початкові умови. Однак крайові проблеми поводяться не так добре. Навіть коли відомі дві граничні умови, ми можемо зіткнутися з крайовими задачами з унікальними розв’язками, багатьма розв’язками або взагалі відсутніми.

Приклад \(\PageIndex\) : Solving an Initial-Value Problem

Вирішіть наступну проблему початкового значення: \(y”+3y’-4y=0, \, y(0)=1,\, y'(0)=-9.\)

Рішення

Ми вже розв’язали це диференціальне рівняння в прикладі 17.6a. і знайшли загальне рішення бути

Коли \(x=0,\) ми маємо \(y(0)=c_1+c_2\) і \(y'(0)=-4c_1+c_2.\) застосовуючи початкові умови, ми маємо

Потім \(c_1=1-c_2.\) підставивши цей вираз в друге рівняння, ми бачимо, що

\[\begin -4(1-c_2)+c_2 &= -9 \\[4pt] -4+4c_2+c_2 &=-9 \\[4pt] 5c_2 &=-5 \\[4pt] c_2 &=-1. \end\]

Отже, \(c_1=2\) і рішення початково-значущової задачі є

Вправа \(\PageIndex\)

Вирішити задачу початкового значення \(y”-3y’-10y=0, \quad y(0)=0, \; y'(0)=7.\)

Підказка

Використовуйте початкові умови для визначення значень для \(c_1\) і \(c_2\) .

Відповідь

Приклад \(\PageIndex\) : Solving an Initial-Value Problem and Graphing the Solution

Розв’яжіть наступну задачу початкового значення та наведіть графік розв’язку:

\[y”+6y’+13y=0, \quad y(0)=0, \; y'(0)=2\nonumber \]

Рішення

Ми вже розв’язали це диференціальне рівняння в прикладі \(\PageIndex\) . І знайшли загальне рішення, яке буде

\[y(x)=e^(c_1 \cos 2x+c_2 \sin 2x).\nonumber \]

\[y'(x)=e^(-2c_1 \sin 2x+2c_2 \cos 2x)-3e^(c_1 \cos 2x+c_2 \sin 2x). \nonumber \]

Коли у \(x=0,\) нас є \(y(0)=c_1\) і \(y'(0)=2c_2-3c_1\) . Застосовуючи початкові умови, отримуємо

Тому \(c_1=0, \, c_2=1,\) і рішення початкової задачі значення показано на наступному графіку.

Вправа \(\PageIndex\)

Розв’яжіть наступну задачу початкового значення та графік розв’язку: \(y”-2y’+10y=0, \quad y(0)=2, \; y'(0)=-1\)

Підказка

Використовуйте початкові умови для визначення значень для \(c_1\) і \(c_2.\)

Відповідь

\[y(x)=e^(2 \cos 3x – \sin 3x) \nonumber \]

Приклад \(\PageIndex\) : Initial-Value Problem Representing a Spring-Mass System

Наступна початкова задача моделює положення об’єкта з масою, прикріпленою до пружини. Пружинно-масові системи детально розглянуті в Додатках. Розв’язок диференціального рівняння дає положення маси щодо нейтрального (рівноважного) положення (в метрах) в будь-який момент часу. (Відзначимо, що для пружинно-масових систем такого типу прийнято визначати напрямок вниз як позитивне.)

\[y”+2y’+y=0, \quad y(0)=1, \; y'(0)=0 \nonumber \]

Розв’яжіть початкову задачу та графуйте розв’язку. Яке положення маси в час \(t=2\) сек? Наскільки швидко рухається маса за час \(t=1\) сек? В якому напрямку?

Рішення

У прикладі \(\PageIndex\) . Ми знайшли загальний розв’язок цього диференціального рівняння

Коли \(t=0,\) ми маємо \(y(0)=c_1\) і \(y'(0)=c_1+c_2.\) застосовуючи початкові умови, отримуємо

\[c_1=1 \\ -c_1+c_2=0. \nonumber \]

Таким чином, \(c_1=1, c_2=1,\) і рішення початкової задачі значення є

Це рішення представлено на наступному графіку. У \(t=2,\) той час маса знаходиться в положенні \(y(2)=e^+2e^=3e^ \approx 0.406\) m нижче рівноваги.

Для обчислення швидкості в часі \(t=1,\) нам потрібно знайти похідну. У нас \(y(t)=e^+te^,\) так

Потім \(y'(1)=-e^ \approx -0.3679\) . У \(t=1,\) той час маса рухається вгору зі швидкістю \(0.3679\) м/сек.

Вправа \(\PageIndex\)

Припустимо, що наступна задача початкового значення моделює положення (у футах) маси в пружинно-масовій системі в будь-який момент часу. Розв’яжіть початкову задачу та графуйте розв’язку. Яке положення маси в час \(t=0.3\) сек? Як швидко він рухається в \(t=0.1\) тайм-сек? В якому напрямку?

\[y”+14y’+49y=0, \quad y(0)=0, \; y'(0)=1 \nonumber \]

Підказка

Використовуйте початкові умови для визначення значень для \(c_1\) і \(c_2\) .

Відповідь

За часом маса знаходиться \(t=0.3, \; y(0.3)=0.3e^ <(-7^<\ast>0.3)>=0.3e^ \approx 0.0367. \) на \(0.0367\) футах нижче рівноваги. За часом \(t=0.1, \; y'(0.1)=0.3e^ \approx 0.1490.\) маса рухається вниз зі швидкістю \(0.1490\) ft/sec.

Приклад \(\PageIndex\) : Solving a Boundary-Value Problem

У прикладі 17.6f. ми розв’язали диференціальне рівняння \(y”+16y=0\) і знайшли загальний розв’язок \(y(t)=c_1 \cos 4t+c_2 \sin 4t.\) Якщо можливо, розв’язуємо крайову задачу, якщо граничні умови такі:

  1. \(y(0)=0, y( \frac<\pi>)=0\)
  2. \(y(0)=1,y(0)=1, y(\frac<\pi>)=0\)
  3. \(y(\frac<\pi>)=0, y(\frac)=2\)

Рішення

\[y(x)=c_1 \cos 4t+c_2 \sin 4t. \nonumber \]

  1. Застосовуючи першу граничну умову, наведену тут, ми отримуємо \(y(0)=c_1=0.\) Отже, рішення має вигляд \(y(t)=c_2 \sin 4t.\) Коли ми застосовуємо другу граничну умову, однак, ми отримуємо \(y(\frac<\pi>)=c_2 \sin(4(\frac<\pi>))=c_2 \sin \pi =0 \) для всіх значень \(c_2\) . Крайових умов недостатньо для визначення величини, \(c_2,\) тому ця крайова задача має нескінченно багато розв’язків. Таким чином, \(y(t)=c_2 \sin 4t\) є рішенням для будь-якої цінності \(c_2\) .
  2. Застосовуючи першу граничну умову, задану тут, ми отримуємо \(y(0)=c_1=1.\) Застосування другої граничної умови дає \(y(\frac<\pi>)=c_2=0,\) так. \(c_2=0.\) У цьому випадку ми маємо унікальне рішення: \(y(t)= \cos 4t\) .
  3. Застосовуючи першу граничну умову, наведену тут, ми отримуємо \(y(\frac<\pi>)=c_2=0.\) Однак застосування другої граничної умови дає \(y(\frac)=-c_2=2,\) так що \(c_2=-2.\) ми не можемо мати \(c_2=0=-2,\) так що ця крайова задача не має розв’язку.

Ключові поняття

  • Диференціальні рівняння другого порядку можна класифікувати як лінійні або нелінійні, однорідні або неоднорідні.
  • Щоб знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння другого порядку, необхідно знайти два лінійно незалежних розв’язку. Якщо \(y_1(x)\) і \(y_2(x)\) є лінійно незалежними розв’язками лінійного, однорідного диференціального рівняння другого порядку, то загальне рішення задається \[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x).\nonumber \]
  • Для розв’язання однорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами знайдіть коріння характеристичного рівняння. Форма загального рішення варіюється в залежності від того, чи має характеристичне рівняння чіткі, реальні корені; єдиний, повторюваний реальний корінь; або складні сполучені коріння.
  • Початкові умови або граничні умови можуть бути використані для пошуку конкретного рішення диференціального рівняння, яке задовольняє цим умовам, за винятком випадків, коли немає рішення або нескінченно багато розв’язків.

Ключові рівняння

  • Лінійне диференційне рівняння другого порядку \[a_2(x)y”+a_1(x)y’+a_0(x)y=r(x) \nonumber \]
  • Рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами \[ay”+by’+cy=0 \nonumber \]

Глосарій

граничні умови умови, які дають стан системи в різний час, такі як положення пружинно-масової системи в два різні часи крайова задача диференціальне рівняння з пов’язаними граничними умовами характеристичне рівняння рівняння \(aλ^2+bλ+c=0\) для диференціального рівняння \(ay″+by′+cy=0\) однорідне лінійне рівняння диференціальне рівняння другого порядку, яке можна записати у вигляді \(a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x)\) , але \(r(x)=0\) для кожного значення \(x\) неоднорідне лінійне рівняння диференціальне рівняння другого порядку, яке можна записати у вигляді \(a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x)\) , але \(r(x)≠0\) для деякого значення \(x\) лінійно залежний набір функцій, \(f_1(x),\,f_2(x),\,…,\,f_n(x)\) для якихє константи \(c_1,\,c_2,\,…,\,c_n\) , не всі нуль, такі, що \(c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+⋯+c_nf_n(x)=0\) для всіх \(x\) в інтервалі цікавить лінійно незалежний набір функцій, \(f_1(x),\,f_2(x),\,…,\,f_n(x)\) для яких відсутні константи \(c_1,\,c_2,\,…,\,c_n\) , такі, що \(c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+⋯+c_nf_n(x)=0\) для всіх \(x\) в інтервалі цікавить

Recommended articles

  1. Article type Section or Page License CC BY-NC-SA License Version 4.0 Show Page TOC No on Page
  2. Tags
    1. author@Edwin “Jed” Herman
    2. author@Gilbert Strang
    3. authorname:openstax
    4. Boundary-Value Problems
    5. characteristic equation
    6. Linear second-order differential equation
    7. linearly dependent
    8. linearly independent
    9. nonhomogeneous linear equation
    10. program:openstax
    11. Second-order equation with constant coefficients
    12. source@https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1
    13. source[translate]-math-2626
    14. superposition principle