Чому дорівнює сума квадратів катетів

0 Comments

Чому дорівнює сума квадратів катетів

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція – підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакти

Адміністратор,
розв’язування задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym

Розв’язування задач
Андрій

facebook:
dniprovets25

1. Теорема Піфагора

Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.

Одна з найвідоміших геометричних теорем — теорема Піфагора , знаменитого давньогрецького філософа і математика.

В історії математики знаходимо твердження, що цю теорему знали за багато років до Піфагора, наприклад, стародавні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами \(3\), \(4\) і \(5\) є прямокутним.

У наш час теорема звучить так (маючи на увазі не тільки площі, але і довжини сторін прямокутного трикутника):

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів c 2 = a 2 + b 2 .

Відомо дуже багато доведень теореми з різними математичними методами, але одні з найбільш наочних пов’язані з площами.

1. Побудуємо квадрат, сторона якого дорівнює сумі катетів даного трикутника a + b . Площа квадрата дорівнює a + b 2 :

2. Якщо провести гіпотенузи \(c\), очевидно, що вони утворили квадрат всередині побудованого квадрата.

Сторони чотирикутника дорівнюють \(c\), а кути — прямі, оскільки гострі кути прямокутного трикутника в сумі дають 90 ° , тоді кут чотирикутника також дорівнює 90 ° , тому що разом всі три кута дають 180 ° .

Отже, площа квадрата складається з чотирьох площ рівних прямокутних трикутників і площі квадрата, утвореного гіпотенузами:

3. На двох сторонах квадрата змінимо місцями відрізки \(a\) і \(b\), при цьому довжина сторони квадрата не змінюється.
Тепер площу квадрата можемо скласти з двох площ квадратів, утворених катетами \(a\) і \(b\) і двох площ прямокутників:

4 ⋅ ab 2 = 2 ab і c 2 = a 2 + b 2 , що і є одним із доведень теореми Піфагора.

Якщо знаходимо довжину гіпотенузи \(c\), тоді виконуємо додавання квадратів довжин катетів \(a\) і \(b\) і визначаємо квадратний корінь:

Якщо знаходимо довжину одного катета, тоді виконуємо віднімання довжини квадрата іншого катета з квадрата довжини гіпотенузи і визначаємо квадратний корінь:

Зворотна теорема використовується, як ознака прямокутного трикутника.

Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, тоді трикутник є прямокутним.

Обираємо більшу сторону і перевіряємо, чи виконується теорема Піфагора:
9 2 = 6 2 + 7 2 ; 81 ≠ 36 + 49 , отже, цей трикутник не прямокутний.

Чи є трикутник зі сторонами \(5\) см, \(12\) см і \(13\) см прямокутним?
Обираємо більшу сторону і перевіряємо, чи виконується теорема Піфагора:

13 2 = 12 2 + 5 2 ; 169 = 144 + 25 , отже, цей трикутник прямокутний.

Щоб не витрачати багато часу на розв’язання, корисно запам’ятати найбільш використовувані числа Піфагора: