Правильні багатогранники

Правильний багатогранник, або так само відомий як «Платонове тіло» – це вид багатогранника, гранями якого є правильніше багатокутники (трикутник, квадрат, п’ятикутник, шестикутник і т д) Залежно від конкретного виду багатокутника, який є межею багатогранника, багатогранники носять свої назви :
1. Тетраедр – гранню є правильний трикутник, кількість вершин – 4, кількість ребер – 6, кількість граней – 4.

2. Гексаедр (або всім відомий куб) – грань-квадрат, кількість вершин – 8, кількість ребер – 12, кількість граней – 6.

3. Додекаедр – грань-п’ятикутник, кількість вершин – 20, кількість ребер – 30, кількість граней – 12.

Крім тетраедра, є й інші багатогранники, межею яких є трикутник:
4. Октаедр – кількість вершин – 6, кількість ребер – 12, кількість граней – 8.

5. Ікосаедр – кількість вершин – 12, кількість ребер – 30, кількість граней – 20.

Існує спеціальна формула, яка була придумана вченим Ейлером. Дана формула пов’язує число ребер, граней і сторін багатогранника простим співвідношенням:
В + Г = Р + 2, де В – кількість вершин; Г – кількість граней; Р – кількість ребер.

Деякі факти з історії багатогранників:

1. Багатогранники відомі ще задовго до Платона. Істориками, археологами були знайдені фігурки створений древніми, в яких чітко простежуються форми правильних багатогранників. Крім того подібні фігури часто виступали елементами стародавніх архітектурних будівлях.
2. Вважається, що багатогранники (вже з точки зору геометрії) були відкриті Пифагором. Однак за іншими джерелами йому належить заслуга відкриття лише трьох багатогранників, а саме тетраедра, гексаедр і додекаедра. Що ж стосується октаедра і ікосаедра, їх відкриття приписують давньогрецькому математику Теєтет Афінському.
3. Багатогранники так само називаються «Платонова тілами» тому, що свого часу Платон в одній зі своїх робіт зіставив багатогранники з ч етирьмя природними стихіями. Кожному багатограннику відповідала своя стихія: тетраедр – вогонь, Гексаедр (кубу) – земля, октаедру – повітря, ікосаедр – вода.
4. Повний опис багатогранників з точки зору математики і геометрії дав в одному зі своїх праць Евклід.
5. За часів відомого математика Йоганна Кеплера було відомо лише п’ять планет Сонячної системи. Так як це число збігалася з числом існуючих багатогранників, яких так само 5, він намагався знайти відповідність між ними і планетами.

Ейлера теорема. Теорема Ейлера для простих багатогранників

Багатогранники привертали увагу математиків і вчених навіть у стародавні часи. Єгиптяни побудували піраміди. А греки вивчали “правильні багатогранники”. Їх іноді називають Платонівськими твердими тілами. “Традиційні багатогранники” складаються з плоских граней, прямих ребер і вершин. Але головним питанням завжди було те, які правила повинні виконувати ці окремі частини, а також те, які додаткові глобальні умови необхідно виконати, щоб об ‘єкт був кваліфікований як багатогранник. Відповідь на це запитання буде подано у статті.

• Проблеми у визначенні
• Фігури, які не є багатогранниками
• Правильний
• Перші кроки до теореми Ейлера для багатогранників
• Поліедральна формула
• Теорія графів
• Докази формули Ейлера
• Доказ Радемахера і Теплиця
• Йорданова крива. Теорема
• Група Мебіуса
• Діаграма Ейлера
• Теореми Ферма і Ейлера
• Особливості тотожності

Проблеми у визначенні

З чого складається ця фігура? Багатогранник – це замкнута суцільна форма, яка має плоскі грані та прямі ребра. Тому першою проблемою його визначення можна назвати саме сторони фігури. Не всі грані, що лежать в площинах, завжди є ознакою багатогранника. Як приклад візьмемо “трикутний циліндр”. З чого він складається? Частина його поверхні трьох вертикальних площин, що попарно перетинаються, не може вважатися багатокутниками. Причина в тому, що вона не має вершин. Поверхня такої фігури сформована на основі трьох променів, які зустрічаються в одній точці.

Ще одна проблема – площині. У разі “трикутного циліндра” вона полягає в їх необмежених частинах. Фігура вважається випуклою, якщо відрізок прямої, що з ‘єднує будь-які дві точки в безлічі, також знаходиться в нім. Наведемо одну з їх важливих властивостей. У випуклих безліч їм є те, що безліч точок, загальних для набору, є таким же. Існує ще один вид фігур. Це невипуклі степерні багатогранники, які мають або виїмки, або отвори.

Фігури, які не є багатогранниками

Плоска безліч точок може бути різною (наприклад, невипуклою) і не задовольняти звичайного визначення багатогранника. Навіть через нього воно обмежене перерізами прямих. Лінії випуклого багатогранника складаються з випуклих фігур. Однак цей підхід до визначення виключає фігуру, що йде в нескінченність. Її прикладом можуть бути три промені, які не зустрічаються в одній точці. Але при цьому вони з ‘єднуються з вершинами іншої фігури. Традиційно важливим для багатогранника було те, що він складається з плоских поверхонь. Але з часом поняття розширилося, що призвело до значного поліпшення розуміння вихідного “більш вузького” класу багатогранників, а також появи нового, в більш широкому визначенні.

Правильний

Введемо ще одне визначення. Правильний багатогранник – це той, в якому кожна межа є конгруентними регулярними випуклими багатокутниками, а всі вершини “однакові”. Це означає, що кожна вершина має однакову кількість правильних багатокутників. Використовуйте це визначення. Так можна знайти п ‘ять правильних багатогранників.

Перші кроки до теореми Ейлера для багатогранників

Греки знали про полігон, який сьогодні називається пентаграмою. Цей багатокутник можна було б називати регулярним, тому що всі його сторони мають рівну довжину. Також є ще одне важливе зауваження. Кут між двома послідовними сторонами завжди один і той же. Однак він при малюванні в площині не визначає випуклої безлічі, а сторони багатогранника перетинаються один з одним. Проте, так було не завжди. Математики давно розглядали ідею “невипуклих” правильних багатогранників. Пентаграма була серед них. Допускалися і “зоряні багатокутники”. Було виявлено кілька нових прикладів “правильних багатогранників”. Тепер їх називають поліедрами Кеплера-Пуансо. Пізніше Г.С.М. Кокстер і Бранко Грюнбаум розширили правила і виявили інші “регулярні багатогранники”.

Поліедральна формула

Систематичне дослідження цих фігур почалося порівняно рано в історії математики. Леонард Ейлер був першим, хто помітив, що для випуклих тривимірних багатогранників справедлива формула, що зв ‘язує число їх вершин, граней і ребер.

Вона виглядає так:

де V – число багатогранних вершин, F – число ребер багатогранників, а E – число граней.

Леонард Ейлер – швейцарський математик, який вважається одним з найбільших і продуктивних вчених усіх часів. Він більшу частину життя був сліпий, але втрата зору послужила йому приводом стати ще більш продуктивним. Існує кілька формул, названих на його честь, і ту, яку ми тільки що розглянули, іноді називають формулою багатогранників Ейлера.

Є одне уточнення. Формула Ейлера, однак, працює тільки для багатогранників, які дотримуються певних правил. Вони полягають у тому, що форма не повинна мати жодних отворів. І неприпустимо, щоб вона перетинала саму себе. Багатогранник також не може складатися з двох частин, з ‘єднаних разом, наприклад, двох кубів з однією вершиною. Ейлер згадав про результати свого дослідження в листі до Християнина Гольдбаха в 1750 році. Пізніше він опублікував дві роботи, в яких описав, як спробував знайти доказ свого нового відкриття. Насправді існують форми, які дають іншу відповідь на V + F – E. Відповідь на суму F + V – E = Х називається ейлеровою характеристикою. У неї є ще один аспект. Деякі форми можуть навіть мати характеристику Ейлера, яка є негативною

Теорія графів

Іноді стверджується, що Декарт вивів теорему Ейлера раніше. Хоча цей вчений виявив факти про тривимірних багатогранників, які дозволили б йому вивести потрібну формулу, він не зробив цього додаткового кроку. Сьогодні Ейлеру приписують “батьківство” теорії графів. Він вирішив проблему мосту Кенігсберга, використовуючи його ідеї. Але вчений не дивився на багатогранник у контексті теорії графів. Ейлер спробував дати доказ формули, заснованої на розкладанні поліедру на більш прості частини. Ця спроба не відповідає сучасним стандартам для доказу. Хоча Ейлер не дав першого правильного обґрунтування своєї формули, не можна довести здогадки, які не були зроблені. Однак результати, що знайшли обґрунтування пізніше, дозволяють використовувати теорему Ейлера і в даний час. Перший доказ отримав математик Адріан Марі Лежандр.

Докази формули Ейлера

Ейлер спочатку сформулював поліедральну формулу як теорему про багатогранників. Сьогодні її часто трактують у більш загальному контексті пов ‘язаних графів. Наприклад, як структури, що складаються з точок та відрізків ліній, що з ‘єднують їх, які знаходяться в одній частині. Огюстен Луї Коші був першою людиною, яка знайшла цей важливий зв ‘язок. Вона і стала доказом теореми Ейлера. Він, по суті, зауважив, що граф випуклого багатогранника (або те, що сьогодні називається таким) топологічно гомеоморфний сфері, має плоский зв ‘язковий граф. Що це таке? Плоский граф – це той, який був намальований в площині таким чином, що його ребра зустрічаються або ж перетинаються тільки в вершині. У цьому і було знайдено зв ‘язок теореми Ейлера і графів.

Однією з ознак важливості результату є те, що Девід Епштейн зміг зібрати сімнадцять різних доказів. Існує багато варіантів обґрунтування поліедральної формули Ейлера. У певному сенсі найбільш очевидними доказами є методи, що використовують математичну індукцію. Результат можна довести, проводячи її за кількістю або ребер, граней або вершин графа.

Доказ Радемахера і Теплиця

Особливо привабливий наступний доказ Радемахера і Теплиця, заснований на підході Фон Штаудта. Для того щоб обґрунтувати теорему Ейлера, припустимо, що G – зв ‘язаний граф, вбудований у площину. Якщо він має схеми, можна виключити одне ребро з кожної з них таким чином, щоб зберегти властивість, при якій той залишається пов ‘язаним. Існує взаємно однозначна відповідність між віддаленими частинами для переходу до пов ‘язаного графу без замикання і тих, які не є нескінченною межею. Це дослідження призвело до класифікації “орієнтованих поверхонь” з точки зору так званої характеристики Ейлера.

Йорданова крива. Теорема

Основна теза, яка прямо або побічно використовується при доказі формули багатогранників теореми Ейлера для графів, залежить від Йорданової кривої. Ця ідея пов ‘язана з узагальненням. Вона говорить, що будь-яка проста замкнута крива ділить площину на три безлічі: точки на ній, всередині і поза нею. Оскільки інтерес до багатогранної формули Ейлера розвинувся в дев ‘ятнадцятому столітті, було зроблено багато спроб узагальнити її. Це дослідження заклало основу для розвитку алгебраїчної топології і пов ‘язало її з алгеброю і теорією чисел.

Група Мебіуса

Незабаром було виявлено, що деякі поверхні можуть бути “орієнтовані” узгодженим чином тільки локально, але не глобально. Відома група Мебіуса служить ілюстрацією такої поверхні. Вона була виявлена дещо раніше Йоганном Лістингом. Ця концепція включає поняття роду графа: найменша кількість дескрипторів g. Воно повинно бути додано до поверхні сфери, і той може бути вбудований на розширену поверхню таким чином, щоб ребра зустрічалися тільки в вершинах. Виявляється, що будь-яка орієнтована поверхня в євклідовому просторі може розглядатися як сфера з певним числом ручок.

Діаграма Ейлера

Вчений зробив ще одне відкриття, яке використовується досі. Це так звана діаграма Ейлера – графічне зображення, що складається з кіл, зазвичай використовується для ілюстрації відносин між безліччю або групами. Діаграми зазвичай включають кольори, які змішуються в областях, де кола перекриваються. Безлічі зображуються саме колами або овалами, хоча для них також можуть бути використовувати інші фігури. Включення представлено перекриттям еліпсів, званих ейлеровими колами.

Вони представляють безлічі і підмножини. Виняток становлять неперекривані кола. Діаграми Ейлера тісно пов ‘язані з іншим графічним зображенням. Їх часто плутають. Це графічне зображення називається діаграмами Венна. Залежно від розглянутих безліч обидві версії можуть виглядати однаково. Однак на діаграмах Венна перекриваються кола необов ‘язково вказують на спільність між безліччю, а тільки на можливий логічний зв’ язок, якщо їх мітки не знаходяться в колі, що перетинається. Обидва варіанти були прийняті для викладання теорії безліч в рамках нового математичного руху 1960-х років.

Теореми Ферма і Ейлера

Ейлер залишив помітний слід у математичній науці. Алгебраїчна теорія чисел збагатилася теоремою, названою на його честь. Вона також є наслідком іншого важливого відкриття. Це так звана загальноалгебраічна теорема Лагранжа. Ім ‘я Ейлера також пов’ язане з малою теоремою Ферма. У ній говориться, що якщо p – просте число і a – ціле число, що не ділиться на p, то:

ар-1 – 1 ділиться на p.

Іноді це ж відкриття носить іншу назву, що найчастіше зустрічається в іноземній літературі. Воно звучить як “різдвяна теорема Ферма” “. Вся справа в тому, що відкриття стало відомо завдяки листу вченого, відправленого напередодні 25 грудня 1640 року. Але саме твердження зустрічалося і раніше. Його використовував інший вчений на ім ‘я Альбер Жирар. Ферма лише намагався довести його теорію. Автор натякає в іншому своєму листі на те, що його надихнув метод нескінченного спуску. Але жодних доказів він не навів. Пізніше до цього ж методу звернутися і Ейдер. А після нього – безліч інших відомих вчених, у тому числі Лагранж, Гаусс і Мінкоський.

Особливості тотожності

Мала теорема Ферма називається також приватним випадком теореми з теорії чисел, що належить Ейлеру. У цій теорії функція тотожності Ейлера підраховує позитивні цілі числа до заданого цілого числа n. Вони взаємно прості по відношенню до n. Теорема Ейлера в теорії чисел записується з використанням грецької літери і виглядає як (n). Її можна більш формально визначити як число цілих чисел k в діапазоні 1 ^ k ^ n, для якого найбільший загальний ділник gcd (n, k) дорівнює 1. Запис (n) також може називатися фі-функцією Ейлера. Цілі числа k цієї форми іноді називаються тотативними. В основі теорії чисел функція тотожності Ейлера є мультиплікативною, що якщо два числа m і n взаємно прості, то (mn) = (m) (n). Вона також відіграє ключову роль у визначенні системи шифрування RSA.

Функція Ейлера була введена в 1763. Однак у той час математик не вибрав для її позначення якогось конкретного символу. У публікації 1784 р. Ейлер вивчив цю функцію докладніше і вибрав грецьку букву, щоб позначити її. Джеймс Сільвестр придумав термін “тоталь” для цієї функції. Тому вона також згадується як тоталь Ейлера. Тоталем (n) позитивного цілого n, більшого ніж 1, визначається число позитивних цілих чисел, менших n, які взаємно прості до n. (1) визначається як 1. Функція Ейлера або функція phi () є дуже важливою теоретико-числовою функцією, що має глибоке відношення до простих числах і так званого порядку цілих чисел.