Які існують системи числення

0 Comments

✅Види системи числення

Система числення – це сукупність правил найменування і запису чисел.

У будь-якій системі числення для подання чисел вибираються деякі символи (цифри, букви, рисочки тощо), які називаються цифрами.

Найпростіша система числення – одинична, або унарна. У ній використовується тільки один символ:

Така система числення використовувалася в основному народами, що не мають писемності, приблизно 10-11 тис. Років до н. е. Але і зараз такою системою числення користуються, наприклад, відзначаючи зарубками кількість минулих днів.

Системи числення діляться на дві групи:

Непозиційних система числення – система числення, в якій значення кожної цифри не залежить від її положення в запису числа. Позиційна система числення – система числення, в якій значення кожної цифри залежить від її положення в запису числа.

До позиційних систем числення відносяться десяткова, двійкова, шістдесяткова та інші системи числення. Назва позиційної системи числення залежить від того, скільки символів використовується для запису чисел.

Підставою позиційної системи числення називається кількість символів, що використовуються для запису чисел. Наприклад, в двійковій системі числення використовуються дві цифри 0 і 1; підставу її дорівнює 2. У вісімковій системі числення вісім цифр (0,1, … 7); основа – 8.

У системах числення з основою більш як 10 для подання чисел після цифр 0, 1, 2. 9 використовують латинські літери: А (10), В (11), С (12) і т. д. Так, наприклад, алфавіт шістнадцятиткової системи числення виглядає наступним чином: 0, 1, 2, …, 9, А, В, С, D, E, F. Основа цієї системи числення – 16.

1.1: Системи числення

Позначення в рівнянні (2) читається « \(\mathbb\) є множиною, членами якої є 1, 2, 3 і так далі». Три крапки (три крапки) в кінці рівняння (2) – це спосіб математика сказати «et-cetera». Ми перераховуємо достатньо чисел, щоб встановити впізнаваний візерунок, потім пишемо «і так далі», припускаючи, що закономірність була достатньо встановлена, щоб читач міг інтуїтивно зрозуміти інші числа в наборі. Таким чином, наступні кілька чисел в наборі \(\mathbb\) – 4, 5, 6, 7, «і так далі». Зверніть увагу, що існує нескінченна кількість натуральних чисел. Інші приклади натуральних чисел – 578,736 і 55 617 778. Множина \(\mathbb\) натуральних чисел необмежена; тобто немає найбільшого натурального числа. Для будь-якого натурального числа, яке ви виберете, додавання одного до вашого вибору дає більше натуральне число. Для будь-якого натурального числа n, ми називаємо m дільник або множник n, якщо є ще одне натуральне число k так, що \(n = mk\) . Наприклад, 4 є дільником 12 (тому що 12=4\ раз 3), а 5 – ні. Подібним чином, 6 є дільником 12 (тому що 12=6\ раз 2), але 8 – ні. Далі ми визначаємо дуже спеціальну підмножину натуральних чисел.

Визначення 3: Прості числа Якщо єдиними дільниками натурального числа \(p\) є 1 і сам, то \(p\) вважається простим.

Наприклад, оскільки його єдиними дільниками є 1 і сам, 11 – це просте число. З іншого боку, 14 не є простим (він має дільники, відмінні від 1 і самого себе, тобто 2 і 7). Подібним чином, кожне з натуральних чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 і 19 є простим. Зауважте, що 2 є єдиним парним натуральним числом, яке є простим. Якщо натуральне число, відмінне від 1, не є простим, то ми говоримо, що воно складене. Зауважте, що будь-яке натуральне число (крім 1) потрапляє в один з двох класів; воно або просте, або є складовим. Матеріали, захищені авторським правом. Дивись: http://msenux.redwoods.edu/IntAlgText/ 1 У цьому підручнику визначення, рівняння та інші мічені частини тексту нумеруються послідовно, 2 незалежно від типу інформації. Цифри нумеруються окремо, як і таблиці. Хоча натуральне число 1 має лише 1 і саме як дільники, математики, зокрема теоретики числа 3, не вважають 1 простим. Для цього є вагомі причини, але це може зайняти нас занадто далеко. Наразі просто зауважте, що 1 не є простим числом. Будь-яке число, яке є простим, має рівно два множники, а саме саме і 1. Ми можемо множити складене число 36 як добуток простих множників, а саме \[36=2 \times 2 \times 3 \times 3\] Крім перестановки факторів, це єдиний спосіб, яким ми можемо висловити 36 як добуток простих множників.

Визначення 4: Фундаментальна теорема арифметики Фундаментальна теорема арифметики говорить, що кожне натуральне число має унікальну просту факторизацію.

Незалежно від того, як ви починаєте процес факторизації, всі дороги ведуть до однакової простої факторизації. Для прикладу розглянемо два різних підходи для отримання простої факторизації 72. \[\begin 72 & = & 8\times 9 & 72 & = & 4\times 18 & \\ & =& (4 \times 2) \times(3 \times 3) & & = &(2 \times 2) \times(2 \times 9) \\ &=&2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 & & = & 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\end\] У кожному конкретному випадку результат однаковий, \(72=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\)

Нуль

Використання нуля як заповнювача і як числа має багату і багатоповерхову історію. Стародавні вавилоняни записували свою роботу на глиняних табличках, вдавлюючи в м’яку глину стилусом. Отже, таблички ще з 1700 року до н.е. існують і сьогодні в музеях усього світу. Фото знаменитого Plimpton_322 показано на малюнку \(\PageIndex<1>\) , де маркування деякими вважаються піфагорійськими трійками, або мірами сторін прямих трикутників. \(\PageIndex<1>\) Малюнок Плімптон_322 У людей цієї стародавньої культури була шестигранна (база 60) система нумерації, яка вижила без використання нуля в якості заповнювача понад 1000 років. У ранній вавилонській системі цифри 216 і 2106 мали ідентичні записи на глиняних табличках авторів. Можна було лише визначити різницю між двома числами на основі контексту, в якому вони були використані. Десь близько 400 року до н.е. Вавилоняни почали використовувати два клинові символи, щоб позначити нуль як заповнювач (деякі таблетки показують один або подвійний гачок для цього заповнювача). Стародавні греки добре знали вавилонську позиційну систему, але більша частина акцентів грецької математики була геометричною, тому використання нуля як заповнювача було не таким важливим. Однак є деякі докази того, що греки використовували символ, що нагадує великий омікрон, в деяких своїх астрономічних таблицях. Лише приблизно в 650 році нашої ери використання нуля як числа почало повзати в математику Індії. Брахмагупта (598-670?) , у своїй роботі Brahmasphutasiddhanta, був одним з перших записаних математиків, які спробували арифметичні операції з числом нуль. Тим не менш, він не зовсім знав, що робити з поділом на нуль, коли писав Позитивні або від’ємні числа при діленні на нуль – це дріб з нулем як знаменник. Відзначимо, що він стверджує, що результатом ділення на нуль є дріб з нулем в знаменнику. Не дуже інформативно. Майже через 200 років Махавіра (800-870) не зробив набагато краще, коли писав Число залишається незмінним при діленні на нуль. Схоже, індійські математики не могли визнати, що ділення на нуль було неможливим. Культура майя (250-900 н.е.) мала базову позиційну систему 20 та символ, який вони використовували як нульовий заповнювач. Робота індійських математиків поширилася в арабському та ісламському світі і була вдосконалена. Ця робота врешті-решт пробралася на Далекий Схід, а також в Європу. Тим не менш, до 1500-х років європейські математики все ще не використовували нуль як число на регулярній основі. Лише в 1600-х роках використання нуля як числа набуло широкого поширення. Звичайно, сьогодні ми знаємо, що додавання нуля до числа залишає це число незмінним, і що поділ на нуль безглуздий4, але, коли ми боремося з цими поняттями, ми повинні мати на увазі, скільки часу потрібно людству, щоб впоратися з цією потужною абстракцією (нуль як число). Якщо ми додамо число нуль до набору натуральних чисел, у нас з’явиться новий набір чисел, які називаються цілими числами

Визначення 5 Безліч цілих чисел – це безліч \[\mathbb=\\]

Цілі числа

  • Продукт або частка двох статків – це одне статок.
  • Продукт або частка двох боргів – це один стан.
  • Продукт або частка боргу і статку – це борг.
  • Продукт або частка стану і боргу – це борг.

У сучасному використанні можна сказати, що «подібні знаки дають позитивну відповідь», тоді як «на відміну від знаків дають негативну відповідь». Сучасними прикладами перших двох правил Брахмагупти є (5) (4) = 20 і (−5) (−4) = 20, тоді як прикладами останніх двох є (−5) (4) = −20 та (5) (−4) = −20. Правила аналогічні для поділу.

У будь-якому випадку, якщо почати з безлічі натуральних чисел \(\mathbb = \) , додати нуль, потім скласти негативне кожного натурального числа, отримаємо безліч цілих чисел.

Безліч цілих чисел – множина

Буква \(\mathbb\) походить від слова Zahl, яке є німецьким словом, що означає «число».

Важливо відзначити, що ціле число – це «ціле» число, або додатне, від’ємне, або нуль. Таким чином, −11 456, −57, 0, 235 та 41 234 576 є цілими числами, але числа −2/5, 0,125 \(\sqrt\) і не \(\pi\) є. Ми будемо більше сказати про класифікацію останніх чисел в наступних розділах.

Раціональні числа

Ви могли помітити, що кожне натуральне число також є цілим числом. Тобто кожне число в наборі \(\mathbb=\\) – це теж число в наборі \(\mathbb=\\) . Математики кажуть, що « \(\mathbb\) є підмножиною» \(\mathbb\) , тобто кожен член \(\mathbb\) множини також є членом множини \(\mathbb\) . У подібному ключі кожне ціле число також є цілим числом, тому \(\mathbb\) множина є підмножиною множини \(\mathbb=\<\ldots,-2,-2,-1,0,1,2,3, \dots\>\) .

Тепер ми додамо дроби до нашого зростаючого набору чисел. Дроби використовувалися з давніх часів. Вони були добре відомі і використовувалися стародавніми вавилонянами і єгиптянами.

У наш час ми використовуємо словосполучення раціональне число для опису будь-якого числа, яке є співвідношенням двох цілих чисел. Буквою ми будемо позначати набір раціональних чисел \(\mathbb\) .

Безліч раціональних чисел – множина

Це позначення читається «множина всіх співвідношень m/n, такі, що m і n є цілими числами, а n – не 0». Обмеження на n потрібно, оскільки ділення на нуль не визначено.

Очевидно, що числа, такі як −221/31, −8/9 та 447/119, які є співвідношеннями двох цілих чисел, є раціональними числами (дробами). Однак, якщо розглядати ціле число 6 як співвідношення 6/1 (або поперемінно, як 24/4, −48/ − 8 і т.д.), то зауважимо, що 6 також є раціональним числом. Таким чином, будь-яке ціле число можна розглядати як раціональне число (наприклад, 12 = 12/1, −13 = −13/1 тощо). Тому множина \(\mathbb\) цілих чисел є підмножиною множини \(\mathbb\) раціональних чисел.

Але почекайте, є більше. Будь-яке десяткове число, яке закінчується, також є раціональним числом. Наприклад,

Процес перетворення кінцевої десяткової дробу в дріб зрозумілий; підрахуйте кількість десяткових знаків, потім запишіть 1, а потім цю кількість нулів для знаменника.

Наприклад, в 7.638 є три знака після коми, тому помістіть число більше 1000, як в

Але почекайте, є ще більше, для будь-якої десяткової, яка повторюється також може бути виражена у вигляді співвідношення двох цілих чисел. Розглянемо, наприклад, повторювану десяткову

\[0.0 \overline=0.0212121 \ldots\]

Зверніть увагу, що послідовність цілих чисел під «повторюваною смугою» повторюється знову і знову нескінченно довго. Далі, у випадку з \(0.0\overline\) , є точно дві цифри під повторюваною планкою. Таким чином, якщо ми пустимо \(x=0.0\overline\) , то

і множення на 100 переміщує десяткові два розряди вправо.

\[100 x=2.12121 \ldots\]

Якщо ми вирівнюємо ці два результати

\[\begin 100 x &=2.12121 \ldots \\-x &=0.02121 \ldots \end\]

і відніміть, тоді результат

Однак цей останній результат не є співвідношенням двох цілих чисел. Це легко виправити, множивши і чисельник, і знаменник на 10.

Ми можемо зменшити цей останній результат, розділивши як чисельник, так і знаменник на 3. Таким чином \(0.0 \overline=7 / 330\) , будучи співвідношенням двох цілих чисел, є раціональним числом.

Давайте розглянемо інший приклад.

Показати, що \(0 . \overline\) є раціональним числом.

Рішення

При цьому під повторюваною планкою знаходяться три цифри. Якщо ми дозволимо x = 0.621, то множимо на 1000 (три нулі), це змістить три знака після коми вправо.

\[\begin 1000 x &=621.621621 \ldots \\ x &=0.621621 \ldots \end\]

Діливши чисельник і знаменник на 27 (або спочатку на 9 потім на 3), знаходимо, що \(0 . \overline=23 / 37\) . Таким чином, 0,621, будучи співвідношенням двох цілих чисел, є раціональним числом.

У цей момент природно задатися питанням: «Чи всі числа раціональні?» Або: «Чи є інші типи чисел, про які ми ще не обговорювали?» Давайте розбиратися далі.

Ірраціональні числа

Якщо число не є раціональним, математики кажуть, що воно ірраціональне

Будь-яке число, яке не може бути виражене у співвідношенні двох цілих чисел, називається ірраціональним числом.

Математики боролися з поняттям ірраціональних чисел протягом всієї історії. На малюнку \(\PageIndex\) зображений стародавній вавилонський артефакт під назвою Квадратний корінь двох табличок.

\(\PageIndex\) Малюнок Квадратний корінь з двох таблеток.

Існує стародавня байка, яка розповідає про учня Піфагора, який надав геометричний доказ ірраціональності \(\sqrt\) . Однак піфагорійці вірили в абсолютність чисел, і не могли дотримуватися думки про числа, які не були раціональними. В якості покарання Піфагор засудив свого учня до смерті потопаючи, або так йде історія.

Але як щодо \(\sqrt\) ? Раціонально це чи ні? Класичний доказ, відомий за часів Евкліда («Батько геометрії», бл. 300 р. До н.е.), використовує доказ протиріччям. Припустимо, що \(\sqrt\) це дійсно раціонально, а це означає, що \(\sqrt\) може бути виражено у вигляді співвідношення двох цілих чисел p і q наступним чином.

Квадрат з обох сторін,

потім очистити рівняння дробів, помноживши обидві сторони на \(q^\) .

Тепер p і q кожен має свої унікальні прості факторизації. Обидва \(p^\) і \(q^\) мають парну кількість факторів у своїх простих факторизаціях.6 Але це суперечить рівнянню 14, тому що ліва сторона матиме парну кількість факторів у простому факторизації, тоді як права сторона матиме непарну кількість факторів у його простому факторизації (є один додаткові 2 з правого боку).

Тому наше припущення, яке \(\sqrt\) було раціональним, є помилковим. Таким чином, \(\sqrt\) нераціонально.

Існує безліч інших прикладів ірраціональних чисел. Наприклад, \(\pi\) це ірраціональне число, як і число \(e\) , з яким ми зіткнемося при вивченні експоненціальних функцій. Десяткові числа, які не повторюються і не закінчуються, такі як

також нераціональні. Докази ірраціональності таких чисел виходять за рамки цього курсу, але якщо ви зважитеся на кар’єру в математиці, то коли-небудь уважно подивитеся на ці докази. Досить сказати, є багато ірраціональних чисел там. Дійсно, ірраціональних чисел набагато більше, ніж раціональних чисел.

Реальні числа

Якщо взяти всі числа, які ми обговорювали в цьому розділі, натуральні числа, цілі числа, цілі числа, раціональні числа, і ірраціональні числа, і об’єднати їх все в один гігантський набір чисел, то ми маємо те, що відомо як набір дійсних чисел. Будемо використовувати букву R для позначення безлічі всіх дійсних чисел.

Це позначення читається «множина всіх x така, що х є дійсним числом». Набір дійсних чисел \(\mathbb\) охоплює всі числа, з якими ми зіткнемося в цьому курсі.

Recommended articles

  1. Article type Section or Page License CC BY-NC-SA License Version 2.5 Show Page TOC No on Page
  2. Tags
    1. authorname:darnold
    2. Fundamental Theorem of Arithmetic
    3. integers
    4. natural numbers
    5. prime numbers
    6. rational numbers
    7. real numbers
    8. source[translate]-math-19678
    9. zero

    Системи числення

    Ще в сиву давнину людям доводилося рахувати різні предмети і явища, що їх оточували. Спочатку не було ні літер, ні цифр і думки людина висловлювала за допомогою малюнків на стінах печер. Для запам’ятовування чисел люди користувалися зарубками на печерах, деревах та вузелками на мотузках та рахували на пальцях. За допомогою нього Робінзон Крузо вимірював дні, що він провів на безлюдному острові. Це найпростіший спосіб запису чисел, тому навіть зараз людина вчиться рахувати в цей спосіб. Спосіб запису чисел за допомогою символів називається системою числення. Щойно розглянута система називається унарною. Але зазвичай ми користуємося десятковою системою числення. Вона використовує для запису чисел цифри від 0 до 9, тобто всього десятьма символами. Також на значення чисел, записаних десятковою системою числення, впливає не тільки символи, з яких складається запис, а й їх розташування. Тобто 245 і 452 це різні числа, на відміну від унарної системи числення, в якій не важливе місце розташуівння засічок/вузликів/, а тільки їхня кількість. Ця властівсть називається позиційністю, а система числення, що її має, називається позиційною системою числення. Місця розташування символів у числі називаються розрядами, нумеруються вони зправа-наліво. Розглянемо число 333. Найлівіша трійка означає просто три. Трохи правіша трійка означає тридцять. Найправіша трійка означає 300. Тепер складемо докупи значення розрядів: 300+30+3 = 333. Значення цифри 3 змінюється в залежності від розташування в 10 раз. Як відомо, зазвичай лічать якісь величини починаючи з одиниці, але розряди починають лічити з нуля, тобто найправіший розряд нульовий, а лівіший за нього – перший і т.д. Розглянемо десяткове число 238. Цифра 8 знаходиться в нульовому розряді, або розряді одиниць і важить як 8 одиниць, тобто 8. Цифра 3 знаходиться в першому розряді, або розряді десяток і важить як 3 десятки, тобто 30. Цифра 2 знаходиться в другому розряді, або розряді сотень і важить як дві сотні тобто 200. Тепер додамо значення всіх розрядів числа і отримаємо його значення: 200 + 30 + 8 = 238 . Довжину чисел визначають за його розрядністю. Тобто 2345 – чотирирозрядне число, а 43 – дворазрядне. Десяткову систему числення іноді такж називають системою числення з десятковою основою. Значення кожного окремого розряду в десятковій системі числення дорівнює: число*10 Номер розряду
    Розглянемо десяткове число 1981:

    Розряд одиниць - 0 розряд: 100*1=1 Розряд десятків - 1 розряд: 101*8=80 Розряд сотень - 2 розряд: 102*9=900 Розряд тисяч - 3 розряд: 103*1=1000 Підсумуємо значення всіх розрядів:    1000 + 900 + 80 + 1 = 1981     

    Приклади запису чисел кирилицею Годинник на колокольні Собора Різдва Богородиці в Суздальскому кремлі. Кінець XVII сторіччя.

    Окрім десяткової системи числення людина широко використовує й інші: двійкову, вісімкову, шіснадцяткову – вони щироко розповсюджені в електрониіці і програмуванні, а cтарослов’янська система числення і нині використовується в православних богослужбових книжках. В старослов’янській системі числення для запису чисел використовувалась кирилиця та глаголиця, але з почначкою – титлом, яке вказувало на використання літер в якості цифер. Цей знак міг ставитися над кожною літерою, або він міг бути довгим і покривати все число. На малюнках показані приклади запису чисел кирилицею. Іноді для грошових сум титло заміняли надстрочною лігатурою “ру”, “де” або буквою “а”, що відповідало символам рубля, діньги чи алтину.

    Потім люди придумали рахівницю та в кожного народу були свої різновиди. Цей пристрій пережив багато комп’ютерів та калькуляторів, особливо в Радянському Союзі та пострадяньких республіках, де на калькулятори дурнуваті продавці дивилися, як на породження зла. Навіть зараз людина вчить арифметику на цьому найпростішому обчислювальному пристрої. Зазвичай рахівниця складається з гілок у прямокутній рамці, на які нанизані кісточки. Кожна гілка відповідає одному розряду, вага якого визначається кількістю кісточок зліва або звеху. Тобто всередині розрядів використовується унарна система числення. Не дивлячись на примітивізм конструкції, китайці за домомогою свого варіанту (Суаньпаню) навчилися отримувати квадратні та кубічні корені а також робили інженерні розрахунки для першої китайської атомної бомби.

    Розглянемо детальніше конструкцію суаньпаню.

    Пристрій поділений на 2 частини, які називаються “небо” і “земля” – на “землі” розташовані п’ять кісточок, а на “небі” дві. Коли на “небі” обидві кісточки зверху, то вага розряду дорівнює кількості верхніх кісточок “землі”. В випадку, якщо на “небі” одна кісточка зверху, а одна знизу, вага розряду дорівнює додаванню 5 до кількості верхніх кісточок “землі”.

    Дивіться також [ ред. ]