Підручник Геометрія 7 клас – Бевз Г.П. – Відродження 2015 рік

Якщо трикутники ABC і А ₁В ₁С ₁ дорівнюють один одному, то їх можна сумістити. При цьому якщо сумістяться вершини А і А ₁, В і В ₁, С і C ₁, то сумістяться й сторони: АВ з A ₁B ₁, ВС з В ₁С ₁, СА з C ₁A ₁ і кути: ∠A з ∠A ₁∠B з∠B ₁, ∠C, ∠C ₁. Отже, якщо ∆АВС =∆А ₁В ₁С ₁, то АВ = А ₁В ₁, ВС = В ₁С ₁, СА = С ₁А ₁, ∠A = ∠A ₁, ∠B = ∠B ₁, ∠C = ∠C ₁.

Щоб довести, що дані трикутники рівні, необов’язково переконуватися в істинності всіх шістьох рівностей.

Теорема 10 (перша ознака рівності трикутників).

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники — рівні.

Доведений. Нехай АВС і A ₁B ₁C ₁ — два трикутники, у яких АВ = А ₁В ₁, АС = А ₁С ₁ і ∠A = ∠A ₁ (мал. 151). Доведемо, що ∆АВС = ∆А ₁В ₁С ₁.

Накладемо ∆A ₁B ₁C ₁ на ∆АВС так, щоб вершина _А1 сумістилася з вершиною А, вершина В ₁ — з вершиною В, а сторона А ₁С ₁ наклалася на промінь АС. Це зробити можна, бо згідно з умовою A ₁B ₁ = АВ і ∠A ₁ = А. Оскільки А ₁С ₁ = АС, то при такому накладанні точка С ₁ суміститься з точкою С. У результаті всі вершини трикутника А ₁В ₁С ₁ сумістяться з відповідними вершинами трикутника ABC.

Теорема 11 (друга ознака рівності трикутників).

Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники — рівні.

Доведення. Нехай ABC і А ₁В ₁С ₁ — два трикутники, у яких АВ = A ₁B ₁, ∠A = ∠A ₁ і ∠B = ∠B ₁ (мал. 152). Доведемо, що ∆АВС = А

∆А ₁В ₁С ₁, Накладемо ∆А ₁В ₁С ₁ на ∆АВС так, щоб вершина А ₁ сумістилася з вершиною А, вершина B ₁ — з вершиною В, а сторона А ₁С ₁ наклалася на промінь АС. Це зробити можна, бо АВ =А ₁В ₁ і ∠A = ∠A ₁. Оскільки ∠B =∠B ₁, то сторона B ₁C ₁ накладеться на промінь ВС. Отже, при такому накладанні промінь А ₁С ₁ суміститься з променем АС, а промінь В ₁С ₁ — з променем ВС. Точка C ₁, у якій перетинаються промені А ₁С ₁ і В ₁С ₁, суміститься з точкою С — точкою перетину променів АС і ВС. Як бачимо, трикутник А ₁В ₁С ₁ можна сумістити з трикутником ABC, а це означає, що ∆АВС = ∆A ₁В ₁C ₁.

Існують ще й інші ознаки рівності трикутників (див. теорему 18).

На ознаки рівності трикутників згодом доведеться посилатися часто. Щоб не сплутати, яку з них названо першою, яку другою і т. д., їх краще розрізняти за змістом, говорити про ознаку рівності трикутників:

1) за двома сторонами і кутом між ними;

2) за стороною і двома прилеглими кутами:

3) за трьома сторонами (її доведемо пізніше).

Ці ознаки рівності трикутників називають загальними ознаками, бо вони правильні для будь-яких трикутників. Крім них, існують ще ознаки рівності прямокутних трикутників, рівнобедрених трикутників тощо.

Два рівносторонні трикутники рівні, якщо сторона одного з них дорівнює стороні іншого.

Спробуйте довести цю ознаку, користуючись загальними ознаками.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте першу ознаку рівності трикутників.

2. Сформулюйте другу ознаку рівності трикутників.

3. Доведіть ознаку рівності трикутників за двома сторонами і кутом між ними.

4. Доведіть ознаку рівності трикутників за стороною і прилеглими до неї кутами.

1. Відрізки АВ і CD перетинаються в точці О так, що AO = DO і СО = ВО. Доведіть, що АС = BD.

– Розглянемо трикутники АСО і DBO (мал. 163). Їх кути при вершині О — вертикальні, отже, рівні. Відповідні сторони також рівні: AO = DО, СО = ВО. Згідно з першою ознакою рівності трикутників ∆АСО = ∆DBO. Сторони АС і BD цих трикутників відповідні, бо лежать проти рівних кутів при вершині О.

2. Дві сторони трикутника дорівнюють одна одній. Доведіть, що медіани, проведені до цих сторін, також рівні.

– Нехай у трикутника AВC сторона АВ = АС, а ВК і СР — медіани (мал. 154).

АР = АХ як половини рівних сторін. ∆АВК = = ∆АСР, бо АВ = АС, АК = АР і ∠A — спільний. Отже, ВК = СР.

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

351. Учні побудували в зошитах трикутники за двома сторонами 3 см і 5 см та кутом 60° між НИМИ. ЧИ рівні ці трикутники?

352. Учні побудували в зошитах трикутники за стороною 5 см і прилеглими до неї кутами 30° і 70°. Чи рівні ці трикутники?

353. Користуючись малюнком 155, доведіть:

а) якщо АВ = АD і ∠1 = ∠2, то ∆АВС = ∆АОС;

б) якщо ∠1 = ∠2 і ∠B = ∠D, то ∆АBС = ∆АDС.

354. Відрізки АВ і CD перетинаються в точці О так, що АО = ОВ і CO = OD. Доведіть, що ∆АОС = ∆BOD.

355. Відрізки KР і EF перетинаються в точці М так, що КМ — МР і EM = MF. Знайдіть відстань між точками К і E, якщо PF = 12 см.

356. На малюнку 156 АВ = CD, АВ | CD. Доведіть, що ∠AОВ = ∠COD.

358. Нехай AM — медіана трикутника ABC і МК = МK (мал. 157). Доведіть, що ∆ACM = ∆КВМ.

359. У чотирикутнику ABCD АВ ‖ CD і ВС ‖ AD (мал. 158). Доведіть, що ∠B = ∠D.

360. На бісектрисі кута А позначено точку D, на сторонах цього кута — точки В і С такі, що ∠BDA = ∠ADC. Доведіть, що BD = CD.

361. У рівносторонньому трикутнику ABC проведіть бісектрису AL і доведіть, що:

362. У чотирикутнику ABCD АВ ‖ CD і ВС ‖ AD. Проведіть відрізок BD і доведіть, що:

363. Чи дорівнюють один одному трикутники, зображені на малюнку 159?

364. Щоб виміряти на місцевості відстань між пунктами А і В, між якими не можна пройти (мал. 160), вибирають таку точку С, від якої можна пройти до А і до В. Потім на прямих АС і ВС відкладають відрізки СТ = АС і CP =DC. Відстань РТ дорівнює AВ. Чому?

365. Попередню задачу можна розв’язати іншим способом (мал. 161). Відкладають ∠BCM = ∠DCA і CM = СА. Тоді АВ = ВМ. Поясніть чому це так?

366. Через кінці відрізка AВ проведено паралельні прямі АС і BD, а через середину О відрізка АВ — пряму, яка перетинає прямі АС і BD в точках С і D. Знайдіть відстань між точками А і С, якщо BD = 8 см.

367. Рівні відрізки АВ і CD перетинаються в точці О так, що ОА = ОС. Доведіть, що ∠АВС = ∠ADC і ∠BAD = ∠BCD.

368. Відрізки АВ і CD перетинаються в точці О, яка е серединою кожного з них. Доведіть, що АС і BD.

369. Доведіть, що медіани рівних трикутників, проведені до рівних сторін, — рівні.

370. Доведіть, що в рівних трикутниках рівні відповідні:

а) бісектриси; б) висоти.

371. Усі сторони шестикутника ABCDEF рівні i всі його кути рівні (мал. 162). Доведіть, що трикутник АСЕ – рівносторонній.

372. На малюнку 163 AD = CF, ∠1 = ∠2 і ∠3 = ∠4. Доведіть, що ∆АВС = ∆DEF.

373. Бісектриса AL трикутника ABC перпендикулярна до сторони ВС. Доведіть, що АВ = АС.

374. Щоб знайти відстань між пунктами А та X (мал. 164), на березі річки позначили точки В і С так, щоб виконувались рівності ∠1 = ∠2 і ∠3 = ∠4. Шукана відстань АХ дорівнює відстані АС. Чому?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

375. Один із двох кутів на 40 й більший за інший. Знайдіть ці кути, якщо суміжні а ними кути відносяться як 7 : 5.

376. Чи має трикутник рівні сторони, якщо дві його сторони відносяться як 5 : 4, третя — на 1 см більша за їх півсуму, а периметр трикутника дорівнює 28 см?

377. Чому дорівнює кут між бісектрисами внутрішнього і зовнішнього кутів трикутника, взятих при одній вершині?

378. Скількома способами можна розрізати прямокутник на два рівні прямокутники? А на дві рівні фігури?

379. Як два рівні квадрати розрізати на рівні частини і скласти з них один квадрат?

Геометрія навколо нас

Самостійна робота 3

1. Накресліть гострокутний трикутник і проведіть його медіани.

2. Два кути трикутника дорівнюють 35° і 68°. Знайдіть третій кут.

3. Периметр трикутника дорівнює З5 см. Знайдіть довжини йога сторін, якщо одна з них довша за другу на 3 см і коротша від третьої на 5 см.

4. У трикутнику ABC сторони АВ і ВС — рівні, а ВН — бісектриса. Доведіть, що ∆АВН = ∆СВН.

1. Накресліть прямокутний трикутник і проведіть його бісектриси.

2. Два кути трикутника дорівнюють 110° і 67°. Знайдіть третій кут.

3. Знайдіть довжини сторін трикутника, якщо одна з них довша за другу на 8 м, а за третю — на 5 м, а периметр трикутника дорівнює 50 м.

4. У трикутнику КРТ висота РМ є водночас і бісектрисою. Доведіть, що ∆КРМ = ∆ТРМ.

1. Накресліть тупокутний трикутник і проведіть його медіани.

2. Два кути трикутника дорівнюють 87° і 56°. Знайдіть третій кут.

3. Периметр трикутника дорівнює 62 см. З найдіть довжини йога сторін, якщо одна з них довша за другу в 2 рази, а за третю — на 8 см.

4. У трикутнику ABC кути А і С — рівні, а ВМ — висота. Доведіть, що ∆АВМ = ∆СВМ.

1. Накресліть довільний трикутник і проведіть усі йога висоти.

2. Два кути трикутника дорівнюють 130° і 25°. Знайдіть третій кут.

3. Периметр трикутника дорівнює 85 м. Знайдіть довжини йога сторін, якщо одна з них коротша від другої у 2 рази, а від третьої — на 1 м.

4. У трикутнику КРТ висота PH є водночас і медіаною. Доведіть, що ∆КРН = ∆ТРН.

ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ

2. Рівність трикутників

Якщо два трикутники рівні, то елементи (сторони й кути) одного трикутника відповідно дорівнюють елементам другого трикутника.

Розглянемо рівні трикутники Δ ABC \(і\) Δ A 1 B 1 C 1 \(.\)
В результаті накладання відповідно сумістяться сторони й кути цих трикутників, тобто кожному елементу трикутника Δ ABC відповідатиме рівний елемент трикутника Δ A 1 B 1 C 1 \(.\)

В записі назви трикутників впорядковуються так, щоб вершини рівних кутів зазначалися в порядку відповідності. Це означає, що якщо:
Δ ABC \(=\) Δ A 1 B 1 C 1 \(,\) то справджуються шість рівностей відповідних елементів: три — для кутів і три — для сторін.
AB = A 1 B 1 ; ∠ A = ∠ A 1 ; BC = B 1 C 1 ; ∠ B = ∠ B 1 ; AC = A 1 C 1 ; ∠ C = ∠ C 1 .

На рисунках відповідно рівні сторони зазвичай позначають однаковою кількістю рисок, а відповідно рівні кути — однаковою кількістю дужок.

На практиці не завжди можна застосувати спосіб накладання для порівняння фігур. Найчастіше необхідно обмежитися виміром деяких елементів фігур, і за цими вимірами робити висновок про їхню рівність.

1. Суміжні та вертикальні кути

Два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями, називаються суміжними.

Оскільки ∠ AOB = 180 ° — розгорнутий кут і промінь \(OC\) ділить його на дві частини, то ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° \(.\)

1. Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні.
2. Два кути, суміжні з одним і тим самим кутом, рівні.
3. Кут, суміжний і з прямим кутом, також прямий. Кут, суміжний із тупим кутом, гострий. Кут, суміжний із гострим кутом, тупий.

Два кути називаються вертикальними, якщо обидві сторони одного кута є продовженням сторін другого.

Якщо перетинаються дві прямі, то утворюються дві пари вертикальних кутів: ∠ 1 , ∠ 3 і ∠ 2 , ∠ 4 \(.\)

За властивістю суміжних кутів ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° і ∠ 1 + ∠ 4 = 180 ° \(.\) Отже, ∠ 2 = ∠ 4 \(.\)

Якщо один із вертикальних кутів прямий, тобто дорівнює 90 ° \(,\) то інші кути також прямі.

Кутом між двома прямими, що перетинаються, називається менший із кутів, що утворилися в результаті перетину цих прямих.

Дві прямі називаються перпендикулярними , якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Відрізки або промені називаються перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикулярних прямих.
Властивість перпендикулярних прямих
Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.

Ця властивість використовується для побудови паралельних прямих за допомогою лінійки та косинця. Двічі прикладаючи косинець до лінійки, можна провести дві прямі, перпендикулярні до краю лінійки.