Які системи числення є в інформатиці

0 Comments

Які системи числення є в інформатиці

Існують два підходи у вимірі кількості інформації: ймовірнісний і об’ємний. Ймовірнісний підхід розвинений американським математиком К. Шенноном, а об’ємний пов’язаний з двійковим поданням інформації в ЕОМ.

У випадку об’ємного підходу кількість інформації вимірюється кількістю символів в повідомленні. У різних системах числення один розряд має різну вагу і відповідно змінюється одиниця виміру. У двійковій системі числення одиниця виміру – біт (Bit – від англійських слів Binary digit – двійкова цифра).

Наприклад, повідомлення 10111011 має об’єм 8 біт (в двійковій системі числення).

І числова, і символьна інформація подається в ЕОМ у вигляді послідовності нулів та одиниць. Числова інформація при цьому кодується з використанням позиційних систем числення.

Система числення – це спосіб подання чисел за допомогою цифр і відповідні йому правила дій над числами. Системи числення діляться на позиційні і непозиційні. Знаки, які використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від її положення в запису числа. Прикладом непозиційної системи числення є римська система, що використовує у ролі цифр літери латинського алфавіту:

У римських числах цифри записуються зліва направо в порядку зменшення, в цьому випадку їх значення складаються.Якщо ж зліва записана менша цифра, а праворуч велика, то їх значення віднімаються.

Наприклад( I= 1 V= 5 X= 10 L= 50 C= 100 D= 500 M= 1000 ):

XCVIII = (-10 + 100) + 5 + 1 +1 + 1 = 98

MMIII = 1000 +1000 +1 + 1 +1 = 2003

У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою в записі числа, залежить від її позиції. Кількість різних цифр, що використовуються для запису чисел, називається основою позиційної системи числення.

У десятковій системі числення число 777,77, наприклад, включає цифру 7, що подає сотні, десятки, одиниці, десяті й соті частки одиниці:

  1. 777.77 = 7 * 100 +7 * 10 +7 +7 /10 +7 / 100 = 7 * 10 2 +7 * 10 1 +7 * 10 0 +7 * 10 -1 +7 * 10 -2
  2. Число 10 є основою системи числення ( В = 10), яке визначається кількістю цифр, які в ній використовуються: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиції цифр у записі числа називаються розрядами числа.

Для компактного запису числових даних в ЕОМ використовуються системи числення з основою 2 n : двійкова, вісімкова, шістнадцяткова (відповідно, n = 1, n = 3, n = 4).

Системи числення з іншими основами використовувалися раніше, наприклад, цивілізацією майя – система числення з основою 20, в стародавньому Вавилоні – система числення з основою 60. Саме відповідно до шестидесятеричної системи числення годину ділять на 60 хвилин, а хвилину на 60 секунд.

Перехід з однієї системи числення в іншу:

У ЕОМ дані будь-якого типу – числові, символьні, графічні, звукові – подаються в двійковій системі числення. Для компактного подання числові дані записуються в вісімковій або шістнадцятковій системі числення.

  • Можливі цифри системи числення з основою В = 2, аi : 0, 1.
  • Можливі цифри системи числення з основою В = 8, аi : 0, 1, 2, 3 . 7.
  • Можливі цифри системи числення з основою B = 16 – це цифри десяткової системи числення 0, 1, 2, . 9, а також літери латинського алфавіту A, B, C, D, E,F, відповідно, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

3.2 Подання текстової інформації в ЕОМ і її обсяг

Будь-яке повідомлення на будь-якій мові складається з послідовності символів – букв, цифр, знаків. Дійсно, в кожній мові є свій алфавіт з певного набору букв (наприклад, в українській – 33 літери, в англійській – 26, і т.п.). З цих букв утворюються слова, які в свою чергу, разом з цифрами і знаками пунктуації утворюють речення, в результаті чого і створюється текстове повідомлення.

У ЕОМ використовуються 2 символи – нуль і одиниця (0 і 1), аналогічно тому, як в азбуці Морзе використовуються точка і тире.

Обсяг інформації, необхідний для запам’ятовування одного з двох символів – 0 або 1, називається 1 біт.

1 біт – мінімально можливий обсяг інформації. Він відповідає проміжку часу, протягом якого по провіднику передається або не передається електричний сигнал. Він відповідає ділянці поверхні магнітного диска, частинки якого намагнічені в тому чи іншому напрямку, ділянці поверхні оптичного диска, який відбиває або не відображає лазерний промінь, одному триггеру, що знаходиться в одному з двох можливих станів.

Отже, якщо у нас є 1 біт, то за його допомогою ми можемо закодувати один з двох символів – або 0, або 1.

Якщо ж є 2 біти, то з них можна скласти один з чотирьох варіантів кодів: 00, 01, 10, 11.

Якщо є 3 біти – один з восьми: 000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111.

  1. 1 біт-2 варіанти,
  2. 2 біти-4 варіанти,
  3. 3 біти-8 варіантів;
  4. 4 біти-16 варіантів,
  5. 5 біт-32 варіанту,
  6. 6 біт-64 варіанти,
  7. 7 біт-128 варіантів,
  8. 8 біт-256 варіантів,
  9. 9 біт-512 варіантів,
  10. 10 біт-1024 варіанту,
  11. .

N біт – 2 у ступені N варіантів.

Зазвичай достатньо 150-160 стандартних символів (великих і маленьких українських і латинських букв, цифр, розділових знаків, арифметичних дій тощо). Якщо кожному з них буде відповідати свій код з нулів та одиниць, то 7 біт для цього буде недостатньо (7 біт дозволять закодувати тільки 128 різних символів), тому використовують 8 біт.

Для кодування одного звичного людині символу в ЕОМ використовується 8 біт, що дозволяє закодувати 256 різних символів.

Стандартний набір з 256 символів називається ASCII (вимовляється “аски”, означає “Американський Стандартний Код для Обміну Інформацією” – англ. American Standart Code for Information Interchange).

Він включає в себе великі і маленькі українські та латинські літери, цифри, знаки пунктуації та арифметичні дії і т.п.

Кожному символу ASCII відповідає 8-бітовий двійковий код, наприклад:

Обсяг інформації, необхідний для запам’ятовування одного символу ASCII називається 1 байт.

Решта одиниці об’єму інформації є похідними від байта:

  • 1 кілобайт (1 кб) = 1024 байта і відповідає приблизно половині сторінки тексту,
  • 1 мегабайт (1 мб) = 1024 кілобайтам і відповідає приблизно 500 сторінкам тексту,
  • 1 гігабайт (1 гб) = 1024 мегабайтам і відповідає приблизно 2 комплектам енциклопедії,
  • 1 терабайт (1 тб) = 1024 гігабайтам і відповідає приблизно 2000 комплектам енциклопедії.

Зверніть увагу, що в інформатиці значення приставок кіло-, мега- та інших в загальноприйнятому сенсі виконується не точно, а наближено, оскільки відповідає збільшенню не в 1000, а в 1024 рази.

Швидкість передачі інформації по лініях зв’язку вимірюється в бодах.

1 бод = 1 біт / сек.

Зокрема, якщо говорять, що пропускна здатність якогось пристрою становить 28 Кілобод, то це означає, що з його допомогою можна передати по лінії зв’язку близько 28 тисяч нулів і одиниць за одну секунду.

28 kbps (bps) – сучасне позначення, або 28 кбіт / с.

Найбільш поширеними є такі системи кодування: ASCII, Windows1251, KOІ8, ISO.

ASCII (American Standard Code for Information Interchange – стандартний код інформаційного обміну).

В системі ASCII закріплені 2 таблиці кодування: базова і розширена.

Базова таблиця закріплює значення кодів від 0 до 127, розширена від 128 до 255.

У перших 32 кодах (0-31) розміщуються так звані керуючі коди, яким не відповідають ніякі символи мов, і, відповідно коди не будуть виводитись ні на екран, ні на пристрої друку.

Починаючи з коду 32 по код 127 розміщені коди символів англійського алфавіту.

Символи національного алфавіту розміщені в кодах від 128 до 255.

Кодування Windows1251 стала стандартом в українськ секторі Wold Wide Web.

Комп’ютерна графіка може бути растровою або векторною.

При використанні растрової графіки за допомогою певного числа біт кодується колір кожного найдрібнішого елементу зображення – піксела.

Зображення подається у вигляді великого числа дрібних точок, званих пікселями. Кожен з них має свій колір, в результаті чого і утворюється малюнок, аналогічно тому, як з великого числа каменів або склу створюється мозаїка або вітраж. При використанні растрового способу в ЕОМ під кожен піксель відводиться певне число біт, яке зветься бітовою глибиною.

Кожному кольору відповідає певний двійковий код (тобто код з нулів і одиниць). Наприклад, якщо бітова глибина дорівнює 1, тобто під кожен піксель відводиться 1 біт, то 0 відповідає чорному кольору, 1- білому, а зображення може бути тільки чорно-білим. Якщо бітова глибина дорівнює 2, тобто під кожен піксель відводиться 2 біта, 00 – відповідає чорному кольору, 01 – червоному, 10 – синьому, 11 – білому, тобто в малюнку може використовуватися чотири кольори. Далі, при бітовій глибині 3 можна використовувати 8 кольорів, при 4 – 16 і т.п. Тому, графічні програми дозволяють створювати зображення з 2, 4, 8, 16, 32, 64, . 256, і т.п. кольорів.

При використанні векторної графіки в пам’яті ЕОМ зберігається математичний опис кожного графічного примітиву – геометричного об’єкта (наприклад, відрізка, кола, прямокутника і т.п.), з яких формується зображення. Зокрема, для відкреслення кола досить запам’ятати положення її центру, радіус, товщину і колір лінії.

Основною сферою застосування векторної графіки є малювання креслень, схем, діаграм і т.п.

Файли *. bmp, *. pcx, *. gif, *. msp, *. img та ін. відповідають форматам растрового типу, *. dwg, *. dxf, *. pic та ін. – векторного.

3.3 Арифметичні операції у двійковій системі числення

З усіх позиційних систем особливо проста двійкова система числення. Розглянемо виконання основних арифметичних дій над двійковими числами.

Всі позиційні системи числення “однакові”, а саме, у них виконуються арифметичні операції за одними й тими ж правилам:

  • справедливі одні й ті ж закони арифметики: комутативними, асоціативний, дистрибутивний;
  • справедливі правила додавання, віднімання та множення стовпчиком;
  • правила виконання арифметичних операцій спираються на таблиці додавання і множення.

Розглянемо приклади на додавання.

При додаванні стовпчиком двох цифр справа наліво в двійковій системі числення, як в будь позиційній системі, в наступний розряд може переходити тільки одиниця.

Результат складання двох позитивних чисел має або стільки ж цифр, скільки у максимального з двох доданків, або на одну цифру більше, але цією цифрою може бути тільки одиниця.

Розглянемо приклади на віднімання.

При виконанні операції віднімання завжди з більшого по абсолютній величині числа віднімається менша і у результату ставиться відповідний знак.

Операція множення виконується з використанням таблиці множення за звичайною схемою (застосовуваної в десяткового системі числення) з послідовним множенням множимо на чергову цифру множника.

Розглянемо приклади на множення.

При виконанні множення в прикладі 2 складаються три одиниці 1 +1 +1 = 11 у відповідному розряді пишеться 1, а інша одиниця переноситься в старший розряд. У двійковій системі числення операція множення зводиться до зсуву множимо і додаванню проміжних результатів.

Операція ділення виконується за алгоритмом, який схожий на алгоритм виконання операції ділення у десятковій системі числення.

Розглянемо приклад на ділення:

Система числення. Кодування інформації

Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел називається системою числення. Звичайною для нас і загальноприйнятою є позиційна десяткова система числення. Як умовні знаки для запису чисел вживаються цифри.

Система числення, в якій значення кожної цифри в довільному місці послідовності цифр, яка означає запис числа, не змінюється, називається непозиційною. Система числення, в якій значення кожної цифри залежить від місця в послідовності цифр у записі числа, називається позиційною.

Щоб визначити число, недостатньо знати тип і алфавіт системи числення. Для цього необхідно ще додати правила, які дають змогу за значеннями цифр встановити значення числа.

Найпростішим способом запису натурального числа є зображення його за допомогою відповідної кількості паличок або рисочок. Таким способом можна користуватися для невеликих чисел.

Наступним кроком було винайдення спеціальних символів (цифр). У непозиційній системі кожен знак у запису незалежно від місця означає одне й те саме число. Добре відомим прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій роль цифр відіграють букви алфавіту: І – один, V – п’ять, Х – десять, С – сто, Z – п’ятдесят, D -п’ятсот, М – тисяча. Наприклад, 324 = СССХХІV. У непозиційній системі числення незручно й складно виконувати арифметичні операції.

Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою цієї системи є число десять. Основою системи числення називається число, яке означає, у скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього.

Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена форма запису розкладу за степенями основи системи числення, наприклад:

Тут 10 є основою системи числення, а показник степеня – це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зліва на право, починаючи з нуля). Арифметичні операції у цій системі виконують за правилами, запропонованими ще в середньовіччі. Наприклад, додаючи два багатозначних числа, застосовуємо правило додавання стовпчиком. При цьому все зводиться до додавання однозначних чисел, для яких необхідним є знання таблиці додавання.

Проблема вибору системи числення для подання чисел у пам’яті комп’ютера має велике практичне значення. В разі її вибору звичайно враховуються такі вимоги, як надійність подання чисел при використанні фізичних елементів, економічність (використання таких систем числення, в яких кількість елементів для подання чисел із деякого діапазону була б мінімальною). Для зображення цілих чисел від 1 до 999 у десятковій системі достатньо трьох розрядів, тобто трьох елементів. Оскільки кожен елемент може перебувати в десятьох станах, то загальна кількість станів – 30, у двійковій системі числення 99910=1111100, необхідна кількість станів – 20 (індекс знизу зображення числа – основа системи числення). У такому розумінні є ще більш економічна позиційна система числення – трійкова. Так, для запису цілих чисел від 1 до у десятковій системі числення потрібно 90 станів, у двійковій – 60, у трійковій – 57. Але трійкова система числення не дістала поширення внаслідок труднощів фізичної реалізації.

Тому найпоширенішою для подання чисел у пам’яті комп’ютера є двійкова система числення. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві цифри: 0 і 1, тобто достатньо двох стійких станів фізичних елементів.

В процесі налагодження програм та в деяких інших ситуаціях у програмуванні актуальною є проблема переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Якщо основа нової системи числення дорівнює деякому степеню старої системи числення, то алгоритм переводу дуже простий: потрібно згрупувати справа наліво розряди в кількості, що дорівнює показнику степеня і замінити цю групу розрядів відповідним символом нової системи числення. Цим алгоритмом зручно користуватися коли потрібно перевести число з двійкової системи числення у вісімкову або шістнадцяткову. Наприклад, 101102=10 110=268, 10111002=101 1100=5C8; у двійковому відбувається за зворотнім правилом: один символ старої системи числення заміняється групою розрядів нової системи числення, в кількості рівній показнику степеня нової системи числення. Наприклад, 4728=100 111 010=1001110102, B516=1011 0101=101101012

Як бачимо, якщо основа однієї системи числення дорівнює деякому степеню іншої, то перевід тривіальний. У протилежному випадкові користуються правилами переведення числа з однієї позиційної системи числення в іншу (найчастіше для переведення із двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення у десяткову, і навпаки).

Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу:

1. Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему числення з основою q, використовуючи арифметику нової системи числення з основою q, потрібно записати коефіцієнти розкладу, основи степенів і показники степенів у системі з основою q і виконати всі дії в цій самій системі. Очевидно, що це правило зручне при переведенні до десяткової системи числення.

92C816=9*10163+2*10162+C*10161+8*10160=9*16103+2*16102+12*16101+8*16100=37576

2. Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему числення з основою q з використанням арифметики старої системи числення з основою p потрібно: