Сколько граней, ребер и вершин у призмы?

По каким формулам можно определить, какое количество граней, ребер и вершин имеет призма?

Например, сколько граней, ребер и вершин у треугольной или шестиугольной призмы?

Общее количество граней, ребер и вершин призмы будет зависеть от ее формы.

Так количество граней равняется количеству боковых граней + количество оснований равняется 2n, где n есть количество ребер в основании.

Количество ребер равняется n x 3, где n есть количество ребер в основании.

Количество вершин равняется (n + 2) x 2, где n есть количество ребер в основании.

Таким образом к примеру, для треугольной призмы (треугольник в основании) количество граней будет равняться 5, количество ребер – 9 и, наконец, количество вершин – 6.

Если взять шестиугольную призму (шестиугольник в основании), то количество граней будет равняться 8, количество ребер – 18, ну а количество вершин – 12.

Призма

Это многогранник, у которой основания являются равными многоугольниками (они находятся в параллельных плоскостях), а боковые грани – параллелограммами.

Так как в качестве основания призмы выступает многоугольник (например, четырехугольник или шестиугольник), то количество граней, ребер и вершин будет зависеть от вида данного многоугольника.

Узнать, сколько граней, ребер и вершин у призмы, можно с помощью формул (n – число сторон у многогранника):

1) Количество граней = n + 2.

n – боковые грани, 2 – основания призмы.

2) Количество ребер = 3n.

Если посмотреть на любую призму, то сразу видно, что из любой вершины выходит по 3 ребра – 1 боковое и 2 в основании.

3) Количество вершин = 2n.

У каждого основания будет n вершин (например, у шестиугольника их 6), а всего оснований у нас 2.

Треугольная призма имеет 3 + 2 = 5 граней, 3 * 3 = 9 ребер и 2 * 3 = 6 вершин.

Четырехугольная призма имеет 4 + 2 = 6 граней, 3 * 4 = 12 ребер и 2 * 4 = 8 вершин.

Шестиугольная призма имеет 6 + 2 = 8 граней, 3 * 6 = 18 ребер и 2 * 6 = 12 вершин.

Мне очень понравился ответ Грустного Роджера, но ведь наименьшее число граней 5 у треугольной пирамиды, вершин 6 тоже у нее и ребер 9, как верно заметил Дмитро Вахмиянин.

Действительно, для любого натурального числа n>2 существует в евклидовом трехмерном пространстве призма с числом сторон многоугольника в основании, равном числу n, и для нее будет верно, что

Количество граней = n+3 (6 для треугольной и 8 для шестиугольной).

Количество ребер = 3n (9 для треугольной и 18 для шестиугольной).

Количество вершин = 2n (6 для треугольной и 12 для шестиугольной).

Лично для меня всегда удивительно, что вершин меньше, чем ребер. Я себя заставил поверить и выучить, что у любого выпуклого многогранника меньше всего количество граней, потом по возрастающей идет количество вершин и больше всего количество ребер. В общем случае, если у выпук. многогранника в каждой вершине пересекается k ребер, то число ребер должно превышать число вершин в k/2 раз. Н Например, для призмы k=3, поэтому неудивительно, что для n-угольной призмы число ребер в полтора раза больше числа вершин. Так уж устроен этот мир.

9.10: Площа поверхні та об’єм призм

Призма – це 3-мірна фігура з 2 конгруентними основами, в паралельних площинях, в яких інші грані є прямокутниками. Малюнок \(\PageIndex\) Небазові грані – це l бічні грані . Краї між бічними гранями – це бічні ребра . Цей конкретний приклад є п’ятикутною призмою, оскільки її основою є п’ятикутник. Призми називаються за формою їх підстави. Призми класифікуються як праві призми (призми, де всі бічні грані перпендикулярні основам), або косі призми (призми, що нахиляються в одну сторону, основою якої є паралелограм, а не прямокутник, і висота яких перпендикулярна площині основи), як показано нижче. Малюнок \(\PageIndex\)

Площа поверхні

Щоб знайти площу поверхні призми, знайдіть суму площ її граней. Бічна площа – це сума площ бічних граней. Основною одиницею площі є квадратна одиниця. \(Surface Area=B_+B_+L_+L_+L_\) \(Lateral Area=L_+L_+L_\) Малюнок \(\PageIndex\)

Обсяг

Щоб знайти обсяг будь-якого твердого тіла, ви повинні з’ясувати, скільки місця воно займає. Основною одиницею об’єму є кубічна одиниця. Зокрема, для призм, щоб знайти обсяг, ви повинні знайти площу підстави і помножити її на висоту. Обсяг призми: \(V=B\cdot h\) , де \(B= area\: of\: base\) . Малюнок \(\PageIndex\) Якщо коса призма і права призма мають однакову площу підстави і висоту, то вони будуть мати однаковий обсяг. Це пов’язано з принципом Кавальєрі, який стверджує, що якщо два твердих тіла мають однакову висоту і однакову площу поперечного перерізу на кожному рівні, то вони матимуть однаковий обсяг. Малюнок \(\PageIndex\) Що робити, якщо вам дали суцільну тривимірну фігуру з двома конгруентними основами, в яких інші грані були прямокутниками? Як ви могли визначити, скільки двовимірного та тривимірного простору займає ця фігура?

Приклад \(\PageIndex<1>\) Загальна площа поверхні трикутної призми дорівнює \(540\text< units>^\) . Що таке \(x\) ? Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Загальна площа поверхні дорівнює: \(A_+A_=540\) Гіпотенуза основ трикутника дорівнює 13, \(5^+12^\) . Давайте заповнимо те, що ми знаємо. Малюнок \(\PageIndex\) \(\begin A_=2(\dfrac<1>\cdot 5\cdot 12)=60 \\ A_&=5x+12x+13x=30x \\ 60+30x &=540 \\ 30x&=480 \\ x&=16\text< units >\qquad \text< The height is 16 units.>\end\)

Приклад \(\PageIndex<2>\) Знайдіть обсяг правої прямокутної призми нижче. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Площа \((5)(4)=20\) підстави дорівнює і висоті 3. Отже, загальний обсяг \((20)(3)=60\text< unit>^\)

Приклад \(\PageIndex<3>\) Знайдіть площу поверхні призми нижче. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Щоб вирішити, намалюйте сітку призми, щоб ми могли переконатися, що знайдемо площу ВСІХ граней. Використовуючи мережу, ми маємо: \(\begin SA_&=2(4)(10)+2(10)(17)+2(17)(4)\\ &=80+340+136 \\ &=556 \text< cm>^\end\) Малюнок \(\PageIndex\)

Приклад \(\PageIndex<4>\) Знайдіть площу поверхні призми нижче. Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Це права трикутна призма. Щоб знайти площу поверхні, нам потрібно знайти довжину гіпотенузи підстави, оскільки це ширина однієї з бічних граней. Ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайти цю довжину. Малюнок \(\PageIndex\) \(\begin 7^+24^&=c^ \\ 49+576&=c^ \\ 625&=c^ \qquad c=25\end\) Дивлячись на сітку, площа поверхні становить: \(\begin SA&=28(7)+28(24)+28(25)+2(\dfrac\cdot 7\cdot 24) \\ SA&=196+672+700+168=1736 units^\end\)

Приклад \(\PageIndex<5>\) У вас невеликий, трикутний намет у формі призми. Скільки гучності він має після того, як він налаштований? Малюнок \(\PageIndex\) Рішення Для початку нам потрібно знайти площу підстави. \(\begin B&=\dfrac(3)(4)=6 \text< ft>^ \\ V&=Bh=6(7)=42 \text< ft>^\end\) Незважаючи на те, що висота в цій задачі не виглядає як «висота», це тому, що це перпендикулярний відрізок, що з’єднує дві основи.

Рецензія

1. Що це за тип призми? Малюнок \(\PageIndex\)
2. Намалюйте сітку цієї призми.
3. Знайдіть площу підстав.
4. Знайдіть площу бічних граней, або площу бічної поверхні.
5. Знайти загальну площу поверхні призми.

1. Скільки одиничних кубиків може поміститися в коробку шириною 8 дюймів, довжиною 10 дюймів і 12 дюймів заввишки? Це те саме, що і обсяг коробки?
2. Зернова коробка шириною 2 дюйми, довжиною 10 дюймів і 14 дюймів заввишки. Скільки крупи вміщує ящик?
3. Банка соди має висоту 4 дюйми і має діаметр 2 дюйми. Скільки соди тримає балончик? Округлите свою відповідь до найближчої сотої.
4. Куб тримає \(216\text< in>^\) . Яка довжина кожного краю?
5. Куб має сторони, які становлять 8 дюймів. Що таке обсяг?

Використовуйте праву трикутну призму, щоб відповісти на питання 11-15.

1. Знайдіть обсяг призми.
2. Якої форми мають підстави цієї призми? Які їх області?
3. Які розміри кожної з бічних граней? Які їх області?
4. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
5. Знайти загальну площу поверхні призми.
6. Опишіть різницю між площею бічної поверхні та загальною площею поверхні.
7. Нечіткі кубики – це кубики з 4-дюймовими сторонами. Малюнок \(\PageIndex\)
   1. Який обсяг і площа поверхні однієї матриці?
   2. Який обсяг і площа поверхні обох кубиків?

   Знайдіть обсяг наступних твердих тіл. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.

   1. підстави – рівнобедрені трапеції Малюнок \(\PageIndex\)
   2. Малюнок \(\PageIndex\)
   3. Малюнок \(\PageIndex\)
   4. Малюнок \(\PageIndex\)

   Знайдіть величину \(x\) , задану площу поверхні.

   1. \(V=504 \text< unit>^ \) Малюнок \(\PageIndex\)
   2. \(V=2688\text< unit>^ \) Малюнок \(\PageIndex\)

   Огляд (Відповіді)

   Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.3.

   Лексика

   Термін	Визначення
   бічні краї	Краї між бічними гранями призми.
   коса призма	Призма, яка нахиляється в одну сторону і висота якої перпендикулярна площині основи.
   призма	являє собою 3-мірну фігуру з 2 конгруентними основами, в паралельних площинам, і в якій інші грані – прямокутники.
   права призма	Призма, де всі бічні грані перпендикулярні основам.
   Площа поверхні	Площа поверхні – це загальна площа всіх поверхонь тривимірного об’єкта.
   Обсяг	Об’єм – це кількість простору всередині меж тривимірного об’єкта.
   Бічні грані	Всі грані призми в стороні від основи відомі як бічні грані.

   Додаткові ресурси

   Відео: Принципи призми – Основні

   Види діяльності: Призми Дискусійні питання

   Навчальні посібники: посібник з вивчення призм та циліндрів

   Практика: Площа поверхні та об’єм призми