Що таке операція на множині

0 Comments

Множини. Операції над множинами

В даному уроці дається поняття: множини, підмножини, операції над множинами, доповнення, об’єднання, переріз.

Департамент освіти і науки України

Дніпропетровської обласної державної адміністрації

Управління освіти і науки виконкому Криворізької міської ради

Відділ освіти виконкому Покровської районної у місті ради

КЗШ І-ІІІ ступенів №97

Люта Ганна Петрівна.

м. Кривий Ріг – 2021

Тема уроку: Підмножина. Операції над множинами.

Формування компетентностей:

  • предметна компетентність:
  • сформувати поняття операції над множинами, а саме: дати означення підмножини, перерізу, об’єднання, різниці й доповнення множини;
  • навчати учнів здійснювати операції над множинами;
  • вміти застосовувати означення операції над множини при розв’язування вправ, при розв’язуванні рівнянь, систем рівнянь, нерівностей;
  • уміння вчитися впродовж життя;
  • розвивати логічне і абстрактне мислення;
  • розвивати знання учнів про множину та її елемен ­ ти, порожню множину, способи задання множин та про операції над множинами: об’єднання, переріз, різниця множин .
  • спілкування державною мовою;
  • виховувати культуру математичного запису та мови.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Обладнання та наочність: презентація, множини, операції над множинами

Хід уроку

  1. Організаційний момент
  2. Актуалізація опорних знань

І. «Дерево знань»

  1. Навести приклади множин;
  2. Як позначають множину та її елементи?
  3. Які числа називаються натуральними, цілими?
  4. Дати означення раціональних та ірраціональних чисел;
  5. Ознаки подільності на 2, 5, 10, 3, 9;
  6. Які множини називаються рівними?
  7. Способи завдання множин;
  8. Яку множину називають порожньою? Як її позначають?

ІІ . «Заморочки із бочки» (самостійна робота, робота в парах)

1. Дано функцію f(x) = x 2 +1. Поставте замість зірочки знак або так, щоб отримати правильне твердження:

2. Запишіть множину коренів рівняння:

1. х(х – 1) = 0; х = 0 або х =1; В: .

2. х – 2 = 0 або (х – 2)(х + 2) =0; В: .

3. Записати множини, перелічивши їхні елементи:

Додатні числа, кратні числу 7 і менші від 60.

Сьогодні ми маємо познайомитися з поняттям підмножини, її елементами, навчитися виконувати операції над ними

Якщо кожен елемент однієї множини A є елементом множини B, то кажуть, що перша множина A є підмножиною множини B. Це записують так: A B .

Наприклад, ⊂ , N ⊂ Z (оскільки будь-яке натуральне число — ціле), Z ⊂ Q (оскільки будь-яке ціле число — раціональне), Q ⊂ R (оскільки будь-яке раціональне число — дійсне).

Вважають, що завжди ∅ ⊂ A, тобто порожня множина є підмножиною будь-якої не порожньої множини.

Інколи замість запису A ⊂ B використовують також запис A ⊆ B, якщо множина A або є підмножиною множини B, або дорівнює множині B. Наприклад, A ⊆ A.

Співставимо означення рівності множин з означенням підмножини.

Якщо множини А і В рівні , то:

А — підмножина В

В — підмножина А

Таким чином, дві множини рівні, якщо кожна з них є підмножиною іншої. Інколи співвідношення між множинами зручно ілюструвати за допомогою кругів (які часто називають кругами Ейлера-Венна).

Записати всі підмножини М = .

Операція перетину множин

Перетином множин А і В називають їхню спільну частину, тобто множину C усіх елементів, що належать як , так і множині В. Перетин множин позначають знаком ∩ (на рисунку наведено ілюстрацію означення перетину множин).

Наприклад, якщо A = , B = , то A ∩ B = .

Нехай А множина розв’язків рівняння х + у = 5, а В – множина розв’язків рівняння х – у = 3. Тоді множина С розв’язків системи рівнянь

2х = 8; х = 4; у = 1. В: .

Операція об’єднання множин

Об’єднанням множин А і В називають множину С, що складається з усіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин (А або В). Об’єднання множин позначають знаком ∪ (на рисунку наведено ілюстрацію означення об’єднання множин).

Наприклад, для множин A і B з попереднього прикладу A ∪ B = .

Якщо позначити множину ірраціональних чисел через M, то M ∪ Q = R.

Наприклад, щоб розв’язати систему рівнянь треба знайти перетин трьох множин

х = 5 – у; х = 3 + у; 5 – у = 3 + у, у = 1, х 2 = 16, х = ±4.

Об’єднання множин А, В, С – це множина всіх елементів, які належать хоча б одній з цих множин: або множині А, або множині В, або множині С.

Об’єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера.

Операція різниці множин

Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з усіх елементів, які належать множині А і не належать множині В.

Різницю множин позначають знаком \ (на рисунку наведено ілюстрацію означення різниці множин).

б) Якщо А — множина учнів вашого класу, В — множина дівча­ток вашого класу, С — множина хлопчиків вашого класу, то А\В = С, А\С = В. У випадку, якщо В — частина множини А А), то А\B називається доповненням до В у множині А і позначають С A В.

в) Знайти різницю множин К= і L=:

Доповнення множини

Якщо B — підмножина A, то різницю A \ B називають доповненням множини B до множини A (рис. 1).

Наприклад, якщо знову позначити множину ірраціональних чисел через M, то
R \ Q = M: кажуть, що множина M ірраціональних чисел доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А,але які належать універсальній множині U.

Доповнення множини А позначають Ā (читають: «А з рискою» або «доповнення А»).

Наприклад, якщо U = R і A = [0; 1], то Ā = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) (Для цього прикладу зручно використати традиційну ілюстрацію множини дійсних чисел на числовій прямій — рис. 3).

Сприймання і усвідомлення матеріалу про операції над множинами.

1. Нехай А – множина коренів рівняння х 2 + 6 = 0. Які із поданих записів вірні?

а) -5 А; б) 6 А; в) 2 А; г) 3 А .

2. Задайте переліченням елементів множини:

а) А — множину голосних букв українського алфавіту; (А-Я)

в) С — множину простих парних чисел; (2Z = )

г) D — множину пір року. (Весна, літо, осінь, зима)

3. Задайте кілька елементів кожної множини:

3. Задано множини:

а) А — множина учнів вашого класу;

б) В — множина учнів вашої школи;

в) С — множина учнів України;

г) D — множина учнів країн земної кулі. Випишіть букви, що позначають вказані множини, в такому порядку, що кожна наступна буква позначала підмножину попередньої множини.

4. Задано множини:

а) множина А всіх трапецій;

б) множина В всіх прямокутників;

в) множина С всіх чотирикутників;

г) множина D всіх квадратів;

д) множина Η всіх паралелограмів;

є) множина F всіх багатокутників.

Запишіть за допомогою знаку с ці множини в такому поряд­ку, що кожна наступна множина була б підмножиною попе­редньої.

5. Зобразіть за допомогою діаграми Ейлера: якщо А В і В С, то А С.

Виконання вправ на переріз множин

3. Доведіть: (А B) С = А (B С) = А В С.

5. Доведіть: а) А А = А; б) А = ; в) А B = В А.

Виконання вправ на об єднання множин

а) АUВ; (1, 3, 5, 7, 9) 6) AUC; (1, 2, 3, 4, 5, 7) в) BUC; (1, 2, 4, 5, 7, 9)

г) AUBUC. (1, 2, 3, 4, 5, 7, 9)

а) АUА = А; б) АU = А; в) АUВ = ВUА; г) (АUВ)UС = АU(ВUС).

4. Доведіть: якщо B А, то AUB = А.

Виконання вправ на різницю множин

a) M\N; (a, b, c) б) N\M; (0) в) (Μ \ Ν) U (Ν \ Μ). (a,b,c)

2. Доведіть: а) А \ А = ; б) А \ = А.

V. Підведення підсумків уроку.

1. Що таке множина? (Сукупність будь-яких предметів, об’єктів, об’єднаних між собою деякою загальною для них усіх ознакою)

2. Що таке об’єднання множин? (Об’єднанням множин А і В називається множи­на, яка складається з усіх елементів, які містять­ся хоч в одній з двох множин А, В і тільки їх)

3. Що таке переріз множин? (Перерізом множин А і В називається множина, яка містить усі спільні елементи множин А і В, і тільки їх)

4. Що таке різниця множин? (Різницею множин А і В називається множина всіх таких елементів множини А, які не містять­ся у множині В)

5. Вкажіть серед вказаних нижче множин порожню:

а) множина коренів рівняння х 2 4 = 0;

б) множина коренів рівняння х = х + 2;*

в) множина коренів рівняння х + 1 = 1 + x;

г) множина кіл, в яких діаметр менший від радіуса.

6. Доведіть, що, якщо А В, а В С, то А С

Операції над множинами

Над множинами можна виконувати певні дії: перетин, об’єднання, знаходження різниці множин.

Дамо означення цих операцій і проілюструємо їх за допомогою кругів Ейлера —Венна.

Операція перетину множин

Перетином множин А і В називають їхню спільну частину, тобто множину C усіх елементів, що належать як множині А, так і множині В.

Перетин множин позначають знаком ∩ (на рисунку 3 наведено ілюстрацію означення перетину множин).

Наприклад, якщо A = , B = , то A ∩ B = .

Операція об’єднання множин

Об’єднанням множин А і В називають множину С, що складається з усіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин (А або В). Об’єднання множин позначають знаком ∪ (на рисунку 4 наведено ілюстрацію означення об’єднання множин).

Наприклад, для множин A і B з попереднього прикладу A∪B = .

Якщо позначити множину ірраціональних чисел через M, то M∪Q = R.

Операція різниці множин

Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з усіх елементів, які належать множині А і не належать множині В.

Різницю множин позначають знаком \ (на рисунку 5 наведеню ілюстрацію означення різниці множин).

Наприклад, якщо A = , B = , то A \ B = , а B \ A = .

Доповнення множини

Якщо B — підмножина A, то різницю A \ B називають доповненням множини B до множини A (рис. 6).

Наприклад, якщо знову позначити множину ірраціональних чисел через M, то
R \ Q = M: кажуть, що множина M ірраціональних чисел доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А,але які належать універсальній множині U.

Доповнення множини А позначають Ā (читають: «А з рискою» або «доповнення А»).

Наприклад, якщо U = R і A = [0; 1], то Ā = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) (Для цього прикладу зручно використати традиційну ілюстрацію множини дійсних чисел на числовій прямій — рис. 8).

1: Бінарні операції

Двійкова операція \(*\) на множині \(S\) – це функція \(S \times S\) from to \(S\) . Якщо \((a,b) \in S \times S\) тоді ми пишемо , \(a * b\) щоб вказати зображення елемента \((a,b)\) під функцією \(*\) .

Наступна лема більш детально пояснює, що саме означає це визначення. Лема 1.1 Двійкова операція \(*\) на \(S\) множині є правилом для об’єднання двох елементів \(S\) для отримання третього елемента \(S\) . Це правило має задовольняти наступним умовам: (а) \(a \in S \mbox < and >b \in S \Longrightarrow a*b \in S\) . [S закрито під \(*\) .] (б) Для всіх \(a,b,c,d\) в \(S\)
\(a=c \mbox < and >b=d \Longrightarrow a*b=c*d.\) [Заміна допустима.] (c) Для всіх \(a,b,c, d\) в \(S\)
\(a=b \Longrightarrow a*c=b*c\) . (г) Для всіх \(a,b,c, d\) в \(S\)
\(c=d\Longrightarrow a*c=a*d\) . Proof Нагадаємо, що функція \(f\) від множини \(A\) до множини \(B\) – це правило, яке присвоює кожному елементу \(x \in A\) елемент, зазвичай позначається \(f(x)\) , у множині \(B\) . Більш того, це правило повинно задовольняти \[\begin \label x=y \Longrightarrow f(x) = f(y) \end \] умові З іншого боку, декартовий твір \(S \times S\) складається з безлічі всіх впорядкованих пар \((a,b)\) де \(a, b \in S\) . Рівність впорядкованих пар визначається правилом \[\begin \label a = c \mbox < and >b = d \Longleftrightarrow (a,b) = (c,d). \end\] Тепер в цьому випадку ми припускаємо, що \(*\) це функція від множини \(S \times S\) до \(S\) множини і замість запису \(*(a,b)\) пишемо \(a*b\) . Тепер, якщо \(a, b \in S\) тоді \((a,b)\in S \times S\) . Так правило \(*\) присвоює \((a,b)\) елементу \(a*b \in S\) . Це встановлює (а). Тепер імплікація ([eqn1.1]) стає \[\begin \label (a,b) = (c,d) \Longrightarrow a*b = c*d. \end\] від ([eqn1.2]) і ([eqn1.3]) ми отримуємо \[\begin \label a = c \mbox < and >b = d \Longrightarrow a*b = c*d. \end\] Це встановлює (b). Щоб довести (c) ми припускаємо, що \(a=b\) . За рефлексивністю рівності ми маємо для всього \(c \in S\) цього \(c = c\) . Таким чином, ми маємо \(a=b\) \(c=c\) і з частини (б) випливає \(a*c=b*c\) , що, за бажанням. Доказ (d) аналогічний. \(\blacksquare\)

Зауваження

У частині (а) порядок \(a\) і \(b\) має важливе значення. Ми не припускаємо, що \(a*b\) це те саме, що \(b*a\) . Хоча іноді це може бути правдою \(a*b = b*a\) , що це не є частиною визначення бінарної операції. Заява (b) говорить \(b=d\) , що якщо \(a=c\) і, ми можемо замінити \(a\) і \(c\) \(d\) для \(b\) у виразі \(a*b\) і отримуємо вираз \(c*d\) який дорівнює \(a*b\) . Можна не думати, що таке природне твердження необхідно. Щоб побачити необхідність цього, див. Проблема 1.7 нижче. Частина (c) вищезгаданої леми говорить про те, що ми можемо помножити обидві сторони рівняння праворуч на один і той же елемент. Частина (d) говорить, що ми можемо помножити обидві сторони рівняння зліва на один і той же елемент.

Визначення 1.2:

  1. Ми говоримо, \(*\) що асоціативно , якщо \[x*(y*z) = (x*y)*z \quad \mbox\in\mbox< S>.\]
  2. Ми говоримо, що елемент \(e\) в \(S\) – це ідентичність щодо \(*\) якщо \[x*e = x \mbox < and >e*x = x \quad \mbox.\]
  3. \(e \in S\) Дозволяти бути ідентичністю по відношенню до \(*\) . Враховуючи, \(x \in S\) ми говоримо, що елемент \(y \in S\) є зворотним , \(x\) якщо обидва \[x*y=e \mbox < and >y*x=e.\]
  4. Ми говоримо, що \(*\) є комутативним , якщо \[x*y=y*x \quad \mbox< for all $x,y \in S.$>\]
  5. Ми говоримо, що елемент \(a\) ідемпотентний щодо \(*\) якщо \(S\) \[a*a=a.\]
  6. Ми говоримо, що елемент \(z\) дорівнює нулю щодо \(*\) if \(S\) \[z*x=z \mbox < and >x*z=z \quad \mbox.\]

Проблема 1.1 Припустимо, що \(*\) це двійкова операція на множині \(S\) . Доведіть наступні твердження.

(i) Якщо \(e\) і \(e’\) є ідентичностями стосовно \(*\) \(S\) далі \(e = e’\) . [Підказка: Що таке \(e*e’\) ?]

(ii) Якщо \(z\) і \(z’\) є нулями по відношенню до \(*\) on \(S\) then \(z = z’\) . [Підказка: Що таке \(z*z’\) ?]

Завдання 1.2 Пройдіть всі наведені вище приклади бінарних операцій і визначте, які не є асоціативними. Показати неасоціативність, надавши три конкретні елементи \(a,b,c\) такі, що \(a*(b*c) \ne (a*b)*c\) .

Завдання 1.3 Пройдіть всі наведені вище приклади бінарних операцій і визначте, які не є комутативними. Показати некомутативність, надавши два конкретних елементи \(a,b\) такі, що \(a*b \ne b*a\) .

Зауваження

Набір може мати кілька бінарних операцій над ним. Для прикладу розглянемо безліч \(\mathbb\) дійсних чисел. Пишемо \((\mathbb, \cdot)\) \((\mathbb, +)\) , і \((\mathbb, -)\) вказуємо множину \(\mathbb\) з двійковими операціями множення, додавання і віднімання відповідно. Аналогічно, ми використовуємо це позначення для інших множин, таких як \(M_2(\mathbb)\) множина, \(2 \times 2\) матриць над дійсними числами \(\mathbb\) . Використовуємо \((M_2(\mathbb), \cdot)\) і \((M_2(\mathbb), + )\) для позначення множення матриці і додавання матриць відповідно на \(M_2(\mathbb)\) .

Завдання 1.4 Визначте, який із прикладів \((\mathbb, \cdot)\) \((\mathbb, +)\) \((M_2(\mathbb), \cdot)\) , та \((\mathcal(X), \cup)\) мають тотожності. Якщо є ідентичність, визначте елементи, які не мають зворотних.

Задача 1.5 Визначте, який з прикладів \((\mathbb, \cdot)\) \((\mathbb, +)\) \((M_2(\mathbb), \cdot)\) ,, і \((\mathcal(X), \cup)\) мають нулі. Якщо є нуль, визначте, чи є ненульові елементи, твір яких дорівнює нулю.

Завдання 1.6 Визначте \((\mathbb, \cdot)\) , який із прикладів \((\mathbb, +)\) \((M_2(\mathbb), \cdot)\) ,, і \((\mathcal(X), \cup)\) мають ідемпотенти. Постарайтеся знайти всі ідемпотенти в кожному конкретному випадку.

Завдання 1.7 Тут ми наведемо приклад правила, яке, здається, визначає бінарну операцію, але не робить, оскільки підміна неприпустима. \(a,b,c,d\) Дозволяти бути цілими числами з \(b \ne 0\) і \(d \ne 0\) . Потім \[\frac a b \in \mathbb \ \mbox < and >\ \frac c d \in \mathbb.\] визначте \(*\) \(\mathbb\) по: \[\frac a b * \frac c d = \frac .\] Показати, що \[\frac a b * \frac c d \in \mathbb,\] так \(\mathbb\) закрито під \(*\) . Покажіть на конкретному прикладі, що це правило не допускає заміни.

Recommended articles

  1. Article type Section or Page
  2. Tags
    1. authorname:weclark
    2. binary operations
    3. source@http://shell.cas.usf.edu/~wclark/#ELEMENTARY_ABSTRACT_ALGEBRA
    4. source[translate]-math-74638