Скільки всього існує багатогранників

0 Comments

5.1: Багатогранники

Ось кілька багатогранників, які називаються пірамідами.

  1. Подивіться на призми. Які їх характеристики або особливості?
  2. Подивіться на піраміди. Які їх характеристики або особливості?
  1. Яку з цих сіток можна скласти в Pyramid P? Виберіть все, що застосовується.
  1. Ваш вчитель дасть вашій групі набір багатокутників і призначить багатогранник.
    1. Визначте, які багатокутники потрібні для складання призначеного багатогранника. Перерахуйте полігони і скільки з них потрібно.
    2. Розташуйте вирізи в сітку, яку, якщо наклеїти і скласти, можна зібрати в багатогранник. Намалюйте сітку. Якщо можливо, знайдіть більше одного способу розташування багатокутників (покажіть іншу мережу для того ж багатогранника).

    Ви готові до більшого?

    Яку найменшу кількість граней може мати багатогранник? Поясніть, як ви знаєте.

    Вправа \(\PageIndex\) : Assembling Polyhedra

    1. Ваш учитель дасть вам сітку багатогранника. Виріжте сітку, і складіть її по краях, щоб зібрати багатогранник. Стрічкою або приклейте стулки так, щоб не було нестиканих країв.
    2. Скільки вершин, ребер та граней у вашому багатограннику?

    Резюме

    Багатогранник – це об’ємна фігура, складена з граней. Кожна грань є заповненим багатокутником і зустрічає лише одну іншу грань уздовж повного краю. Кінці ребер зустрічаються в точках, які називаються вершинами.

    Багатогранник завжди охоплює тривимірну область.

    Множина багатогранника є багатогранниками. Ось кілька креслень багатогранників:

    Призма – це тип багатогранника з двома однаковими гранями, паралельними один одному і які називаються основами. Підстави з’єднуються набором прямокутників (а іноді і паралелограм).

    Призма названа за формою її підстав. Наприклад, якщо підстава – п’ятикутник, то його називають «п’ятикутною призмою».

    Піраміда – це тип багатогранника, який має одну особливу грань, яку називають основою. Всі інші грані – це трикутники, які всі зустрічаються в одній вершині.

    Піраміда названа за формою її підстави. Наприклад, якщо підставою виступає п’ятикутник, то його називають «п’ятикутної пірамідою».

    Сітка – це двовимірне зображення багатогранника. Він складається з багатокутників, які утворюють грані багатогранника.

    Куб має 6 квадратних граней, тому його сітка складається з шести квадратів, як показано тут.

    Сітку можна вирізати і скласти, щоб вийшла модель багатогранника.

    У кубі кожна грань ділиться своїми краями з 4 іншими квадратами. У сітці куба не всі краї квадратів з’єднуються іншим краєм. Однак, коли сітка буде складена, кожен з цих відкритих країв буде стикуватися з іншим краєм.

    Потрібна практика, щоб візуалізувати кінцевий багатогранник, просто дивлячись на мережу.

    Записи глосарію

    Визначення: Основа (призми або піраміди)

    Слово base може також ставитися до обличчя багатогранника.

    Призма має два однакових підстави, які паралельні. Піраміда має одну основу.

    Призма або піраміда названа за формою її підстави.

    Малюнок \(\PageIndex\) : Ліворуч фігура позначена п’ятикутною призмою. Зверху і знизу є два однакових п’ятикутника. Кожна вершина п’ятикутника з’єднана вертикальним відрізком з відповідною вершиною інших п’ятикутників. П’ятикутники затінені, причому база слів вказує на кожен. На малюнку праворуч позначена шестикутна піраміда. На дні є шестикутник, затінений зеленим кольором. З точки над шестикутником відходять 6 відрізків, кожен з’єднаний з вершиною шестикутника.

    Кожна рівна сторона багатогранника називається гранню. Наприклад, куб має 6 граней, і всі вони є квадратами.

    Сітка – це двомірна фігура, яку можна скласти, щоб вийшов багатогранник.

    Ось сітка для куба.

    Багатогранник являє собою замкнуту, об’ємну форму з плоскими сторонами. Коли у нас є більше одного багатогранника, ми називаємо їх багатогранниками.

    Ось кілька креслень багатогранників.

    Призма – це тип багатогранника, який має дві основи, які є однаковими копіями один одного. Підстави з’єднуються прямокутниками або паралелограмами.

    Ось деякі малюнки призм.

    Піраміда – це тип багатогранника, який має одну основу. Всі інші грані є трикутниками, і всі вони зустрічаються в одній вершині.

    Ось деякі малюнки пірамід.

    Визначення: Площа поверхні

    Площа поверхні багатогранника – це кількість квадратних одиниць, що охоплює всі грані багатогранника, без будь-яких зазорів або перекриттів.

    Наприклад, якщо грані куба кожна мають площу 9 см 2 , то площа поверхні куба дорівнює \(6\cdot 9\) , або 54 см 2 .

    Практика

    Виділіть всі багатогранники.

    1. Цей багатогранник – це призма, піраміда чи ні? Поясніть, як ви знаєте.
    1. Скільки граней, ребер і вершин у нього?

    Тайлер сказав, що ця сітка не може бути сіткою для квадратної призми, оскільки не всі грані є квадратами.

    Чи згодні ви з Тайлером? Поясніть свої міркування.

    Поясніть, чому кожен з цих трикутників має площу 9 квадратних одиниць.

    1. Паралелограм має підставу 12 метрів і висоту 1,5 метра. Яка його площа?
    2. Трикутник має основу 16 дюймів і висоту \(\frac\) дюймів. Яка його площа?
    3. Паралелограм має площу 28 квадратних футів і висоту 4 футів. Яка його база?
    4. Трикутник має площу 32 квадратних міліметра і підставу 8 міліметрів. Яка її висота?

    Знайдіть область затіненої області. Покажіть або поясніть свої міркування.

    Малюнок \(\PageIndex\) : 2 конгруентні прямі трикутники, що торкаються висоти до висоти. На кожному підставу = 7 сантиметрів, висота = 5 сантиметрів. квадрат з довжиною сторони = 2 сантиметри, вирізаний з центру фігурки. площа навколо квадрата розтушовують.

    9.1: Багатогранники

    Що робити, якщо вам подарували суцільну об’ємну фігуру, схожу на картонну коробку морозива? Як ви могли визначити, як пов’язані грані, вершини та ребра цієї фігури?

    1. Малюнок \(\PageIndex\)
    2. Малюнок \(\PageIndex\)
    3. Малюнок \(\PageIndex\)

    Рішення

    Підстава являє собою трикутник, а всі сторони – трикутники, так що це трикутна піраміда, яка також відома як тетраедр. Є 4 грані, 6 ребер і 4 вершини.

    У шестигранному багатограннику є 10 ребер. Скільки вершин має багатогранник?

    Рішення

    \(V\) Розв’яжіть для в теоремі Ейлера.

    Тому існує 6 вершин.

    Маркус підраховує ребра, грані та вершини багатогранника. Він придумує 10 вершин, 5 граней і 12 ребер. Він помилився?

    Рішення

    Підключіть всі три числа до теореми Ейлера.

    Оскільки дві сторони не рівні, Маркус помилився.

    Знайдіть кількість граней, вершин та ребер у восьмикутній призмі.

    Рішення

    Є 10 граней і 16 вершин. Використовуйте теорему Ейлера, щоб вирішити для \(E\) .

    Тому є 24 ребра.

    Зрізаний ікосаедр – це багатогранник з 12 правильними п’ятикутними гранями, 20 правильними шестикутними гранями та 90 ребрами. Цей ікосаедр дуже нагадує футбольний м’яч. Скільки вершин у нього? Поясніть свої міркування.

    Рішення

    Ми можемо використовувати теорему Ейлера для розв’язання кількості вершин.

    Тому він має 60 вершин.

    Рецензія

    Заповніть таблицю, використовуючи теорему Ейлера.

    Ім’яОбличчяКраїВершини
    1.Прямокутна призма612
    2.Восьмикутна піраміда169
    3.Звичайний ікосаедр2012
    4.Куб128
    5.Трикутна пірамі44
    6.Октаедр812
    7.Гептагональна призма2114
    8.Трикутна призма59

    Визначте, чи є наступні цифри багатогранниками. Якщо так, назвіть фігуру і знайдіть кількість граней, ребер і вершин.

    1. Малюнок \(\PageIndex\)
    2. Малюнок \(\PageIndex\)
    3. Малюнок \(\PageIndex\)
    4. Малюнок \(\PageIndex\)
    5. Малюнок \(\PageIndex\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.1.

    Додаткові ресурси

    Відео: Принципи багатогранників – основні

    Види діяльності: Питання обговорення багатогранників

    Навчальні посібники: Посібник з вивчення багатогранників

    Реальний світ: Ролі Poly багатогранник!

    Recommended articles

    1. Article type Section or Page License CK-12 Show Page TOC No on Page
    2. Tags
      1. authorname:ck12
      2. polyhedrons
      3. program:ck12
      4. source@https://www.ck12.org/c/geometry
      5. source[translate]-k12-2166