Чому дорівнює потенційна енергія облицювальної плитки масою 250 г

0 Comments

§ 16. Потенціальна енергія. Закон збереження механічної енергії

Піднятий на деяку висоту важкий молот не має кінетичної енергії, бо швидкість його руху дорівнює нулю. Проте, якщо молот відпустити, він виконає роботу, наприклад розплющить метал. Натягнута тятива лука теж не має кінетичної енергії, але, випрямляючись, тятива надасть швидкості стрілі, а отже, виконає роботу. І деформоване тіло, і тіло, підняте над поверхнею Землі, здатні виконати роботу, тобто мають енергію. Що це за енергія і як її обчислити?

1. Коли тіло має потенціальну енергію

Механічна енергія Е — це фізична величина, яка характеризує здатність тіла (системи тіл) виконати роботу.

Одиниця енергії в СІ (як і роботи)джоуль [Е] = 1 Дж (J).

Будь-яке тіло, що рухається, може виконати роботу, оскільки воно має кінетичну енергію, або «живу силу», як її називали раніше. Є ще один вид механічної енергії — її називали «мертва сила». Це — потенціальна енергія (від латин. potentia — сила, можливість), — енергія, яку має тіло в результаті взаємодії з іншими тілами.

Потенціальна енергія Ер — це енергія, яку має тіло внаслідок взаємодії з іншими тілами або внаслідок взаємодії частин тіла між собою.

Дівчинка на вершині гірки (рис. 16.1, а) має потенціальну енергію, бо в результаті взаємодії із Землею може почати рух і сила тяжіння виконає роботу. Але як обчислити цю роботу, адже гірка нерівна й тому протягом усього часу руху кут між напрямком сили тяжіння і напрямком переміщення змінюватиметься?

Рис. 16.1. І дівчинка внаслідок взаємодії із Землею (а), і стиснена пружина внаслідок взаємодії її витків (б) мають потенціальну енергію

Стиснена пружина (рис. 16.1, б) теж має потенціальну енергію, оскільки при розпрямленні пружини сила пружності виконає роботу — підкине цеглину. Але як обчислити цю роботу, адже під час дії пружини на цеглину сила пружності безперервно зменшується?

Виявляється, все не так складно. І сила тяжіння, і сила пружності мають одну «чудову» властивість — робота цих сил не залежить від форми траєкторії.

Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки початковим і кінцевим механічними станами тіла (системи тіл), називають консервативними, або потенціальними, силами (від латин. conservare — зберігати, охороняти).

2. Потенціальна енергія піднятого тіла

Доведемо, що сила тяжіння є консервативною силою. Для цього визначимо роботу сили тяжіння під час руху тіла з точки К у точку В різними траєкторіями.

Випадок 1. Нехай траєкторія руху тіла — «сходинка» (рис. 16.2, а): спочатку тіло падає з деякої висоти h0 до висоти h і сила тяжіння виконує роботу A1, потім тіло рухається горизонтально і сила тяжіння виконує роботу A2. Робота — величина адитивна, тому загальна робота А = А1 + А2. A1 = Fтяжs1соs α, де Fтяж = mg, s1 = h0 – h, cos α = 1 (α = 0), тому А1 = mg(h0 – h) = mgh0 – mgh; A2 = 0, оскільки сила тяжіння перпендикулярна до переміщення тіла. Отже:

Випадок 2. Нехай тіло переміщується з точки К у точку В, зісковзуючи похилою площиною (рис. 16.2, б). У цьому випадку робота сили тяжіння становить: А = mgscos α = mg(h0 – h) = mgh0 – mgh.

Рис. 16.2. У випадку переміщення тіла з висоти h0 до висоти h робота сили тяжіння, незалежно від траєкторії руху тіла, визначатиметься за формулою: А = mgh0 – mgh

Той самий результат отримаємо й для випадків переміщення тіла довільною траєкторією.

Отже, робота сили тяжіння не залежить від траєкторії руху тіла, тобто сила тяжіння — консервативна сила.

Величину mgh називають потенціальною енергією піднятого тіла:

Потенціальна енергія піднятого тіла залежить від висоти, на якій перебуває тіло, тобто залежить від вибору нульового рівня, — рівня, від якого буде відлічуватися висота. Нульовий рівень обирають з міркувань зручності. Так, перебуваючи в кімнаті, за нульовий рівень доцільно взяти підлогу, визначаючи висоту гори — поверхню Світового океану. Зверніть увагу! Зміна потенціальної енергії, а отже, і робота сили тяжіння від вибору нульового рівня не залежать.

3. Потенціальна енергія пружно деформованого тіла

Нехай є пружно деформоване тіло, наприклад розтягнута пружина. Визначимо роботу, яку виконає сила пружності під час зменшення видовження пружини від х0 до х (рис. 16.3).

Рис. 16.3. Якщо пружину звільнити, то, стискаючись, вона виконає роботу (надасть руху візку), при цьому деформація пружини зменшиться

Для цього скористаємося геометричним змістом механічної роботи (рис. 16.4):

Рис. 16.4. Сила пружності лінійно залежить від видовження (Fпруж = kx ), тому графік залежності Fпруж(х) — відрізок прямої, а робота сили пружності чисельно дорівнює площі трапеції під графіком

Отже, робота сили пружності визначається тільки початковим і кінцевим станами пружини, тобто сила пружності — консервативна сила. Величину kx 2 /2 називають потенціальною енергією пружно деформованого тіла:

Робота сили пружності (як і робота сили тяжіння) дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, взятій із протилежним знаком:

Останній вираз — математичний запис теореми про потенціальну енергію: робота всіх консервативних сил, які діють на тіло, дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, взятій із протилежним знаком.

Стан із меншою потенціальною енергією є енергетично вигідним; будь-яка замкнена система прагне перейти в такий стан, у якому її потенціальна енергія є мінімальною, — у цьому полягає принцип мінімуму потенціальної енергії. Дійсно, камінь, випущений з руки, ніколи не полетить угору — він падатиме, прагнучи досягнути стану з найменшою потенціальною енергією. Недеформована пружина ніколи не почне розтягуватись або стискатись сама, а деформована прагне перейти в недеформований стан.

4. Закон збереження повної механічної енергії

Часто тіло чи система тіл мають і потенціальну, і кінетичну енергії.

Суму кінетичної і потенціальної енергій системи називають повною механічною енергією системи тіл (рис. 16.5):

Рис. 16.5. Повна механічна енергія Е системи тіл дорівнює сумі потенціальної енергії Ер (визначається взаємним розташуванням тіл системи) і кінетичної енергії Еk (визначається швидкістю руху тіл системи)

Розглянемо замкнену систему тіл, які взаємодіють одне з одним тільки консервативними силами (силами тяжіння або силами пружності). Згідно з теоремою про потенціальну енергію робота А, виконувана цими силами, дорівнює: А = Ер0 – Ер. З іншого боку, відповідно до теореми про кінетичну енергію ця сама робота дорівнює: А = Ek – Ek0. Зрівнявши праві частини рівностей, отримаємо закон збереження повної механічної енергії:

У замкненій системі тіл, які взаємодіють тільки консервативними силами, повна механічна енергія залишається незмінною (зберігається):

Закон збереження повної механічної енергії передбачає перетворення кінетичної енергії на потенціальну й навпаки (рис. 16.6). Однак чи зберігається при цьому повна механічна енергія? Наш досвід підказує, що ні.

Рис. 16.6. Перетворення одного виду механічної енергії на інший вид спостерігаються всюди

Річ у тім, що закон збереження повної механічної енергії виконується тільки в тому випадку, якщо в системі відсутнє тертя. Однак у природі не існує рухів, які не супроводжуються тертям. Сила тертя завжди напрямлена проти руху тіла, тому під час руху вона виконує від’ємну роботу, при цьому повна механічна енергія системи зменшується:

де Атертя — робота сили тертя; Е — повна механічна енергія системи наприкінці спостереження; E0 — повна механічна енергія системи на початку спостереження.

Втрати енергії спостерігаються й у випадку непружного удару.

Тож у разі наявності тертя або в разі непружної деформації енергія безслідно зникає? Здавалося б, так. Однак вимірювання показують, що і внаслідок тертя, і внаслідок непружного удару температура тіл, що взаємодіють, збільшується, тобто збільшується їх внутрішня енергія. Отже, кінетична енергія не зникає, а перетворюється на внутрішню енергію.

Енергія нікуди не зникає й нізвідки не з’являється: вона лише перетворюється з одного виду на інший, передається від одного тіла до іншого.

5. Учимося розв’язувати задачі

Задача. Знайдіть мінімальну швидкість, яку слід надати підвішеній на нитці кульці, за якої вона зможе здійснити повний оберт у вертикальній площині. Довжина нитки дорівнює 0,5 м; опором повітря знехтуйте.

Аналіз фізичної проблеми

• Опором повітря нехтуємо, тому система «кулька — нитка — Земля» є замкненою і можна скористатися законом збереження механічної енергії.

• За нульовий рівень оберемо найнижче положення кульки.

• У найвищій точці траєкторії кулька має певну швидкість, інакше вона не продовжила б обертатися, а почала б падати вертикально вниз.

• Для визначення швидкості руху кульки в найвищій точці траєкторії скористаємося означенням доцентрового прискорення та другим законом Ньютона.

• Необхідно знайти мінімальну швидкість руху кульки в момент поштовху, тому зрозуміло, що в найвищій точці траєкторії нитка натягнута не буде, тобто сила її натягу дорівнюватиме нулю.

Підбиваємо підсумки

• Механічна енергія Е — це фізична величина, яка характеризує здатність тіла (системи тіл) виконати роботу. Повна механічна енергія системи тіл складається з кінетичних енергій руху тіл цієї системи і потенціальних енергій їх взаємодій: E = Ek + Ер.

• Потенціальна енергія — це енергія, яку має тіло внаслідок взаємодії з іншими тілами або внаслідок взаємодії частин тіла між собою. Потенціальна енергія піднятого тіла обчислюється за формулою Ер= mgh, пружно деформованого тіла — за формулою Ер = kx 2 /2.

• Сила пружності та сила тяжіння — консервативні (потенціальні) сили: робота цих сил не залежить від форми траєкторії та дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, взятій із протилежним знаком: А = Ер0 – Ер= -ΔΕp.

• У замкненій системі тіл, які взаємодіють тільки консервативними силами, повна механічна енергія залишається незмінною (зберігається): Ер0 + Ek0 = Ер + Еk.

Контрольні запитання

1. Дайте означення механічної енергії; потенціальної енергії. 2. Доведіть, що робота сили тяжіння не залежить від форми траєкторії. 3. За якою формулою визначають потенціальну енергію пружно деформованого тіла? 4. У чому полягає принцип мінімуму потенціальної енергії? Наведіть приклади на його підтвердження. 5. За яких умов виконується закон збереження повної механічної енергії? 6. Наведіть приклади, коли повна механічна енергія не зберігається. Що можна сказати про повну енергію системи?

Вправа № 16

1. Людина підняла відро з піском масою 15 кг на висоту 6 м, а потім повернула його назад. Чи виконала при цьому роботу сила тяжіння? Якщо так, то обчисліть її.

2. Доведіть, що у випадку, коли тіло рухається замкненою траєкторією, робота консервативних сил дорівнює нулю.

3. Тіло масою 1 кг має потенціальну енергію 20 Дж. На яку висоту над Землею піднято тіло, якщо за нульовий рівень потенціальної енергії прийнято точку на поверхні Землі?

4. Пружинний пістолет заряджають кулькою та стріляють угору. Які при цьому відбуваються перетворення енергії?

5. Камінь, що доти перебував у стані спокою, падає з висоти 20 м. На якій висоті швидкість руху каменя дорівнюватиме 10 м/с? Із якою швидкістю камінь упаде на землю? Опором повітря знехтуйте.

6. До горизонтальної пружини, стиснутої на 4 см, прикріплено візок масою 400 г. Визначте максимальну швидкість руху візка по столу після вивільнення пружини, якщо жорсткість пружини 250 Н/м. Втрати енергії не враховуйте.

7. Велосипедист, який рухався зі швидкістю 9 км/год, різко зупиняється. Яку роботу виконує при цьому сила тертя? Куди «зникає» механічна енергія велосипедиста? Визначте гальмівний шлях велосипедиста, якщо середня сила тертя — 400 Н. Маса велосипедиста разом із велосипедом — 80 кг.

8. Існує небезпечне явище природи — сель у горах (потік каміння та грязі). Чому при цьому важкі валуни можуть набирати величезну швидкість? Скористайтеся додатковими джерелами інформації та дізнайтеся про селі більше.

Прості механізми

Якщо потужність механізму дорівнює 100 Вт, то цей механізм:

за 100 с виконує роботу 1 Дж;

за 10 с виконує роботу 10 Дж;

за 1 с виконує роботу 0,01 Дж;

за 1 с виконує роботу 100 Дж

Рухомий блок застосовують:

для виграшу в силі або у відстані;

лише для виграшу в силі;

для виграшу в роботі;

для зміни напрямку сили.

Якщо використання простого механізму дає виграш у силі в 6 разів, то за ідеальних умов він дає:

програш у відстані в 6 разів;

виграш у відстані в 6 разів;

програш у відстані в 36 разів;

виграш у відстані в 36 разів.

Яку роботу треба виконати, щоб витягти відро з водою із колодязя завглибшки 12 м? Маса відра з водою дорівнює 8 кг

За який час двигун потужністю 100 Вт виконає роботу 2 кДж?

Яккий з цих важелів не може знаходитися у рівновазі?

вони всі знаходяться в рівновазі

За допомогою блоків піднімають мішок з цементом вагою 600 ньютонів на висоту 4 метри. Яку роботу виконує при цьому людина?

не вистачає даних для розв’язку

На одне плече важеля довжиною 30 см діє сила 20 ньютонів, а на друге – сила 100 ньютонів. Якої довжини має бути друге плече, аби важіль знаходився у рівновазі?

2. Потенціальна енергія

Енергія характеризує здатність тіла виконувати роботу. Натягнута тятива лука, стиснута пружина, піднятий із землі камінь, стиснений газ при певних умовах можуть здійснювати роботу.

1. Тіла, підняті над поверхнею землі (наприклад, камінь при падінні з висоти утворює на землі воронку).

2. Пружно деформовані тіла (наприклад, натягнута тятива лука виштовхує стрілу);

3. Стиснуті гази (відстань між молекулами газу зменшується, і збільшується сила відштовхування між ними).

Слово потенціальний (potentia) грецькою мовою означає «можливість».

Велику потенціальну енергію має вода водоспаду. Потенціальна енергія води співпадає з роботою сили тяжіння Землі.

Потенціальна енергія накопичується у водах річок. Сила тяжіння Землі здійснює роботу, змушуючи річки текти до нижче розташованого місця — до моря. Людина навчилася корисно використовувати потенційну енергію річок. У стародавні часи будували водяні млини, а з \(20\)-го століття — гідроелектростанції (ГЕС).

Гідроелектростанція в Ітайпу, яка знаходиться на кордоні між Бразилією і Парагваєм на річці Парана, на сьогодні є найбільшою дійовою спорудою такого роду у світі. В її греблі (через яку протікає вода) є шлюзи, що складаються з \(14\) воріт, через які за секунду проходить \(62200\) кубометрів води.

Потенціальну енергію тіла, піднятого над опорою на висоту \(h\), обчислюють за формулою:
E p = mgh , де m — маса тіла, а g — прискорення вільного падіння біля поверхні Землі.

Потенціальну енергію тіла вимірюють від деякого умовного рівня відліку, найчастіше від поверхні Землі. В такому випадку приймають, що потенційна енергія тіла на поверхні Землі дорівнює нулю.

Тіло одночасно може мати і потенційну, і кінетичну енергію, і вони можуть переходити одна в іншу.

Людина, що гойдається на гойдалках, має максимальну потенціальну енергію в найвищій точці підйому, в цій точці гойдалка на мить завмирає і, отже, в цей момент кінетична енергія людини дорівнює нулю.

Під час руху зі стану \(1\) у стан \(2\), потенційна енергія зменшується, а кінетична росте (тому що висота тіла над рівнем землі зменшується, а швидкість руху тіла зростає).

Коли людина знаходиться в найнижчій точці траєкторії руху \(2\), кінетична енергія є найбільшою, тому що в цей момент його швидкість найвища. Рухаючись із стану \(2\) у стан \(3\), збільшується потенційна енергія (тому що збільшується висота підйому тіла), а кінетична енергія зменшується (тому що швидкість руху тіла зменшується).

У замкнутій системі сума кінетичної і потенціальної енергії в будь-який момент часу залишається незмінною.

Сума потенціальної і кінетичної енергії тіла називається повною механічною енергією тіла.

Прив’язаний вантаж на висоті \(h\) має максимальну потенціальну енергію, а кінетична енергія (енергія руху) в цей час дорівнює \(0\).

Коли мотузку перерізають, вантаж починає вільно падати, висота зменшується, а швидкість збільшується (із прискоренням \(g\)), відповідно, потенціальна енергія зменшується, а кінетична енергія зростає.

У кожен момент часу, до моменту зіткнення, сума потенціальної і кінетичної енергії вантажа однакова.

У момент зіткнення енергія вантажа не зникає, вона передається іншому тілу — цвяху, який під впливом цієї енергії починає рух, йде глибше у брус. Деяка частина енергії перетворюється у внутрішню — теплову енергію (тому що вантаж при зіткненні нагрівається).

Будь-яке тіло має внутрішню енергію , яка не пов’язана з рухом тіла.

Наприклад, у результаті удару частинки починають рухатися інтенсивніше — це проявляється у вигляді нагрівання тіла. Під час стиску пружини змінюється потенціальна енергія частинок.

Натягнута резинка володіє потенціальною енергією, причиною цього є взаємне тяжіння молекул.

енергія не зникає і не виникає знову, вона лише перетворюється з одного виду енергії в інший або переходить від одного тіла до іншого.