Скласти рівняння площини яка проходить через точки паралельно вектору

0 Comments

Онлайн калькулятор. Рівняння площини

Пропоную вам скористатися онлайн калькулятором щоб знайти рівняння площини.

Скориставшись онлайн калькулятором, ви отримаєте детальний розв’язок вашої задачі, який дозволить зрозуміти алгоритм розв’язання задач на складання рівняння площини і закріпити пройдений матеріал.

Знайти рівняння площини

Оберіть метод розв’язання виходячи з умов задачі:

В задачі відомі:

Ввід даних в калькулятор для обрахунку рівняння площини

В онлайн калькулятор можна вводити числа або дроби. Більш детально читайте в правилах вводу чисел.

Додаткові можливості калькулятору для обчислення рівняння площини

  • Використовуйте кнопки і на клавіатурі, для переміщення між полями калькулятору.

Теорія. Рівняння площини

Площина — поверхня, яка містить повністю кожну пряму, що з’єднує будь-які її точки

В залежності від умов задачі рівняння площини можна знайти наступним чином:

    Якщо задані координати трьох точок A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) і C( x 3, y 3, z 3), які лежать на площині, то рівняння площини можна знайти за наступною формулою

Вводити можна лише числа або дроби (-2.4, 5/7, . ). Більш детально читайте в правилах вводу чисел.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Матеріали до уроку “Рівняння площини”

Вектор, перпендикулярний до площини, називають вектором нормалі цієї площини. Площина має безліч векторів нормалі, їхні координати пропорційні.

Рівняння площини з вектором нормалі ( a ; b; c), яка проходить через точку М(x 0 ; y 0 ; z 0 ), має вигляд a (x – x 0 ) + b(y – y 0 ) + c(z – z 0 ) = 0.

Загальне рівняння площини має вигляд a x + by + cz + d = 0, де a , b і c не дорівнюють нулю одночасно, причому вектор ( a ; b; с) є її вектором нормалі.

Рівняння, площини, що проходить через початок координат :

a x + by + cz = 0, де a , b і c не дорівнюють нулю одночасно.

Рівняння координатних площин :

площини yz: х = 0;

площини хz: y = 0;

площини xy: z = 0.

Рівняння площин, які паралельні координатним площинам :

площині yz: х = а ;

площині хz: y = b ;

площині xy: z = с.

Рівняння площин, які паралельні осям координат :

осі х: by + cz + d = 0;

осі у: a x + cz + d = 0;

осі z : a x + by + d = 0.

Рівняння площин, які проходять через осі координат :

вісь х: by + cz = 0;

вісь у: a x + cz = 0;

вісь z : a x + by = 0.

Відстань від точки M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) до площини , заданої рівнянням ax + by + cz + d = 0, можна обчислити за формулою

Взаємне розміщення двох площин

Якщо , то площини паралельні.

Якщо , то площини збігаються.

Кут між двома площинами

Двогранний кут  між площинами вимірюється лінійним кутом, який дорівнює куту між векторами нормалі 1 ( a 1 ; b 1 ; с 1 ) і 2 ( a 2 ; b 2 ; с 2 ) цих площин:

Величина кута між площинами має бути в межах від 0  до 90  .

Приклади

1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку M(3; -9; 1) перпендикулярно до вектора (2; -1; 3).

Розв’язання . Рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора, має вигляд а ( x  x 0 )  b (y  y 0 )  с(z  z 0 )  0.

Підставимо а  2 , b  -1, с  3 (це координати вектора ),

x 0  3, y 0  -9 , z 0  1 (це координати точки M).

2(x  3) – 1( y  (  9))  3(z  1)  0,

2x  6  y  9  3z  3  0,

2x  y  3z  18  0.

2. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку M(2; 2; -2) і паралельна до площини

x − 2y − 3z = 0.
Розв’язання . Оскільки дві площини паралельні, то вектори нормалі обох площин рівні, знаходимо його з рівняння площині x − 2y − 3z = 0:

(1; -2; -3). Підставимо координати вектора нормалі і точки М в рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору a (x – x 0 ) + b(y – y 0 ) + c(z – z 0 ) = 0

1(x − 2) − 2(y − 2) – 3(z + 2) = 0

або x − 2y − 3z – 4 = 0.

3. Записати рівняння площини, що проходить:

1) паралельно пло ­ щині хz і через точку (2; -5; 3);

2) через вісь z і точку (-3; 1; – 2);

3) паралельно осі х і через точки (4; 0; -2) і (5; 1; 7).

Розв’язання . 1) Рівняння шуканої площини у = b . Точка (2; -5; 3) лежить у площині, тобто задовольняє це рівняння; маємо: у = -5, або у + 5 = 0.

2) Рівняння шуканої площини а х + b у = 0. Підставимо координати точки (-3; 1; -2) в це рівняння. Отримаємо -3 а + b = 0, звідки b = 3 а .

Підставимо b = 3 а в рівняння а х + b у = 0. Тоді маємо а х + 3 а у = 0. Поділимо рівняння на а (згідно умови а  0). Тоді рівняння шуканої площини має вигляд х + 3у = 0.

3) Рівняння площини, паралельної осі х, має вигляд: by + cz + d = 0.

Підставляючи в нього почергово координати точок (4; 0; -2) і (5; 1; 7), дістаємо систему

Звідки d = 2 c , b = -9 c . Підставимо ці значення в рівняння by + cz + d = 0:

-9су + с z + 2 c = 0 | : c  0 (згідно умови)

-9 y + z + 2 = 0 або 9у – z – 2 = 0.