✅Властивості медіани трикутника

Медіана трикутника – відрізок, що з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Властивості медіан трикутника

• Медіана розбиває трикутник на два рівновеликих трикутники (тобто на трикутники з однаковою площею);
• Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіння трикутника;
• Весь трикутник поділяється своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників;
• У рівнобедреному трикутнику медіана, опущена на основу, є бісектрисою і висотою;
• У рівносторонньому трикутнику будь-яка медіана є висотою і бісектрисою.

Трикутник. Формули та властивості трикутників.

Означення. Трикутник – фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

Типи трикутників

За величиною кутів

Тупокутний трикутник – один з кутів трикутника тупий (більше 90°).
Прямокутний трикутник – один із кутів трикутника прямий (рівний 90°).

За кількістю рівних сторін

Рівносторонній трикутник або правильний трикутник – всі три сторони рівні.

Вершини, кути та сторони трикутника

Властивості кутів та сторін трикутника

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Проти рівних сторін лежать рівні кути: якщо α > β , тоді a > b якщо α = β , тоді a = b

Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника більша за довжину сторони, що залишилася: a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Теорема косинусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника мінус подвійний добуток цих сторін на косинус кута між ними. a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема про проекції

Для остроугольного треугольника: a = b cos γ + c cos β b = a cos γ + c cos α c = a cos β + b cos α

Формули для обчислення довжин сторін трикутника

Формули сторін через медіани a = 2 3 √ 2( m_b 2 + m_c 2 ) – m_a 2 b = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_c 2 ) – m_b 2 c = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_b 2 ) – m_c 2

Медіани трикутника

Означення. Медіана трикутника ― відрізок усередині трикутника, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Властивості медіан трикутника:

Медіани трикутника перетинаються в одній точці. (Точка перетину медіан називається центроїдом)
У точці перетину медіани трикутника поділяються у відношені два до одного (2:1)
Медіана трикутника ділить трикутник на дві рівновеликі частини

Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників. S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE

Формули медіан трикутника

Формули медіан трикутника через сторони

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Бісектриси трикутника

Означення. Бісектриса кута — промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на два рівні кути.

Властивості бісектрис трикутника:

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, – центрі вписаного кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника

Кут між бісектрисами внутрішнього і зовнішнього кутів трикутника при одній вершині дорівнює 90°.
Якщо у трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — равнобедренный.

Формули бісектрис трикутника

Формули бісектрис трикутника через сторони:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

де p = a + b + c 2 – напівпериметр трикутника

Формули бісектрис трикутника через дві сторони і кут:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Висоти трикутника

Означення. Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.

• бути всередині трикутника – для гострокутного трикутника;
• збігатися з його стороною – для катета прямокутного трикутника;
• проходити поза трикутником – для гострих кутів тупокутного трикутника.

Властивості висот трикутника

Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.
Якщо у трикутника дві висоти рівні, то трикутник — равнобедренный.

Формули висот трикутника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Формули висот трикутника через дві сторони та радіус описаного кола:

Коло вписане в трикутник

Означення. Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх трьох його сторін.

Властивості кола вписаного в трикутник

Центр вписаного в трикутник кола лежить на перетині бісектрис внутрішніх кутів трикутника.

Формули радіусу кола вписаного в трикутник

Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює відношенню площі трикутника до його напівпериметра:

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Коло описане навколо трикутника

Означення. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно містить усі вершини трикутника.

Властивості кола описаного навколо трикутника

Центр описаного навколо трикутника кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

Центр описаного кола лежить усередині гострокутного трикутника, зовні тупокутного трикутника, на середині гіпотенузи прямокутного трикутника.

Формули радіуса кола описаного навколо трикутника

R = S 2 sin α sin β sin γ

Радіус описаного кола через бік та протилежний кут (теорема синусів):

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Зв’язок між вписаним та описании колами трикутника

Середня лінія трикутника

Означення. Середня лінія трикутника — відрізок, що з’єднує середини двох сторін трикутника.

Властивості середньої лінії трикутника

Середня лінія трикутника паралельна до основи і дорівнює її половині.

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

3. Середня лінія відсікає трикутник, подібний до цього, площа якого дорівнює чверті площі вихідного трикутника

4. При перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.

Ознаки. Якщо відрізок паралельний одній із сторін трикутника і з’єднує середину сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, цей відрізок – середня лінія.

Периметр трикутника

Периметр трикутника ∆ ABC дорівнює сумі довжин його сторін

Формули площі трикутника

Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти

Формула Герона

Формула площі трикутника за двома сторонами та кутом між ними
Площа трикутника дорівнює половині добутка двох його сторін помноженого на синус кута між ними.

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

Рівність трикутників

Означення. Якщо два трикутники АВС і А₁В₁С₁ можна сумістити накладенням, вони рівні.

Властивість. У рівних трикутників рівні їх відповідні елементи. (У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, проти рівних кутів лежать рівні сторони)

Ознаки рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників – за двома сторонами та кутом між ними

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників – за стороною та двом прилеглим кутам

Якщо сторона і два кути, що прилягають до неї одного трикутника, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності трикутників – за трьома сторонам

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Подібність трикутників

Означення. Подібні трикутники – трикутники відповідні кути яких рівні, а відповідні сторони пропорційні.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

де k – коефіцієнт подібності

Ознаки подоби трикутників

Перша ознака подоби трикутників

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.

Друга ознака подібності трикутників

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, такі трикутники подібні.

Третя ознака подоби трикутників

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

Властивість. Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Медіана трикутника: формула і властивості

Медіаною іменується відрізок, проведений з вершини трикутника на середину протилежного боку, тобто ділить її точкою перетину навпіл. Точка, в якій медіана перетинає протилежну вершині, з якої вона виходить, сторону, називається основою. Через одну точку, звану точкою перетину, проходить кожна медіана трикутника. Формула довжини її може виражатися кількома способами.

Формули для вираження довжини медіани

• Найчастіше в завданнях з геометрії учням доводиться мати справу з таким відрізком, як медіана трикутника. Формула її довжини виражається через сторони:

де a, b і c – сторони. Причому з є стороною, на яку медіана опускається. Таким чином виглядає найпростіша формула. Медіани трикутника іноді потрібно проводити для допоміжних розрахунків. Є й інші формули.

• Якщо при розрахунку відомі дві сторони трикутника і певний кут, що знаходиться між ними, довжина медіани трикутника, опущеної до третьої сторони, буде виражатися так.

Основні властивості

• Всі медіани мають одну спільну точку перетину O і нею ж діляться у відношенні два до одного, якщо вести відлік від вершини. Така точка носить назву центру тяжкості трикутника.
• Медіана розділяє трикутник на два інших, площі яких рівні. Такі трикутники називаються рівновеликими.
• Якщо провести всі медіани, то трикутник буде розділений на 6 рівновеликих фігур, які також будуть трикутниками.
• Якщо в трикутнику всі три сторони рівні, то в ньому кожна з медіан буде також висотою і біссектрисою, тобто перпендикулярна тій стороні, до якої вона проведена, і ділить надвоє кут, з якого вона виходить.
• У рівнобедреному трикутнику медіана, опущена з вершини, яка знаходиться навпроти сторони, не рівної ніякої іншої, буде також висотою і бісектрисою. Медіани, опущені з інших вершин, рівні. Це також є необхідною і достатньою умовою рівнобедреності.
• Якщо трикутник є підставою правильної піраміди, то висота, опущена на цю основу, проектується в точку перетину всіх медіан.
• У прямокутному трикутнику медіана, проведена до найбільшої сторони, дорівнює половині її довжини.
• Нехай O – точка перетину медіан трикутника. Формула, наведена нижче, буде вірна для будь-якої точки M.
• Ще однією властивістю володіє медіана трикутника. Формула квадрата її довжини через квадрати сторін представлена нижче.

Властивості сторін, до яких проведено медіана

• Якщо з ‘єднати будь-які дві точки перетину медіан зі сторонами, на які вони опущені, то отриманий відрізок буде середньою лінією трикутника і складати одну другу від сторони трикутника, з якої вона не має загальних точок.
• Основи висот і медіан у трикутнику, а також середини відрізків, що з ‘єднують вершини трикутника з точкою перетину висот, лежать на одному кола.

На закінчення логічно сказати, що одним з найважливіших відрізків є саме медіана трикутника. Формула її може використовуватися при знаходженні довжин інших його сторін.