Що таке K у теорії ймовірності

2024 admin 0 Comments

Теорія ймовірності: формули та приклади вирішення завдань

“Випадковості не випадкові” “. Звучить так, немов сказав філософ, але на ділі вивчати випадковості уділ великої науки математики. У математиці випадковостями займається теорія ймовірності. Формули та приклади завдань, а також основні визначення цієї науки будуть представлені у статті.

  • Що таке теорія ймовірності?
  • Зі сторінок історії
  • Базові поняття теорії ймовірностей. Події
  • Дії над подіями
  • Власне, ймовірність
  • До вищої математики
  • Трохи про комбінаторику
  • Формула Бернуллі
  • Формула Пуассона
  • Теорема Муавра-Лапласа
  • Формула Байєса

Що таке теорія ймовірності?

Теорія ймовірності – це одна з математичних дисциплін, яка вивчає випадкові події.

Щоб було трохи зрозуміліше, наведемо невеликий приклад: якщо підкинути вгору монету, вона може впасти “орлом” або “решкою”. Поки монета знаходиться в повітрі, обидві ці ймовірності можливі. Тобто ймовірність можливих наслідків співвідноситься 1:1. Якщо з колоди з 36-ма картами витягнути одну, тоді ймовірність буде позначатися як 1:36. Здавалося б, що тут нічого досліджувати і передбачати, тим більше за допомогою математичних формул. Тим не менш, якщо повторювати певну дію багато разів, то можна виявити якусь закономірність і на її основі спрогнозувати результат подій в інших умовах.

Якщо узагальнити все вищесказане, теорія ймовірності в класичному розумінні вивчає можливість виникнення однієї з можливих подій у числовому значенні.

Зі сторінок історії

Теорія ймовірності, формули і приклади перших завдань з ‘явилися ще в далекому Середньовіччі, коли вперше виникли спроби спрогнозувати результат карткових ігор.

Спочатку теорія ймовірності не мала нічого спільного з математикою. Вона обґрунтовувалася емпіричними фактами або властивостями події, яку можна було відтворити на практиці. Перші роботи в цій сфері як у математичній дисципліні з ‘явилися в XVII столітті. Родоначальниками стали Блез Паскаль і П ‘єр Ферма. Тривалий час вони вивчали азартні ігри і побачили певні закономірності, про які і вирішили розповісти суспільству.

Таку ж методику винайшов Християн Гюйгенс, хоча він не був знайомий з результатами досліджень Паскаля і Ферма. Поняття “теорія ймовірності”, формули і приклади, що вважаються першими в історії дисципліни, були введені саме ним.

Важливе значення мають і роботи Якоба Бернуллі, теореми Лапласа і Пуассона. Вони зробили теорію ймовірності більше схожою на математичну дисципліну. Свій теперішній вид теорія ймовірностей, формули та приклади основних завдань отримали завдяки аксіомам Колмогорова. У результаті всіх змін теорія ймовірності стала одним з математичних розділів.

Базові поняття теорії ймовірностей. Події

Головним поняттям цієї дисципліни є “” подія “”. Події бувають трьох видів:

  • Достовірні. Ті, які відбудуться в будь-якому випадку (монета впаде).
  • Неможливі. Події, що не відбудуться ні при якому розкладі (монета залишиться висіти в повітрі).
  • Випадкові. Ті, що стануться чи не стануться. На них можуть вплинути різні фактори, які передбачити дуже важко. Якщо говорити про монету, то випадкові фактори, що можуть вплинути на результат: фізичні характеристики монети, її форма, вихідне положення, сила кидка тощо.

Всі події в прикладах позначаються головними латинськими літерами, за винятком Р, якій відведена інша роль. Наприклад:

  • А = “студенти прийшли на лекцію”.
  • Лід = “студенти не прийшли на лекцію”.

У практичних завданнях події прийнято записувати словами.

Одна з найважливіших характеристик подій – їх рівноважність. Тобто, якщо підкинути монету, всі варіанти вихідного падіння можливі, поки вона не впала. Але також події бувають і не рівноважними. Це відбувається, коли хтось спеціально впливає на результат. Наприклад, “мічені” гральні карти або гральні кістки, в яких зміщений центр тяжкості.

Ще події бувають сумісними і несумісними. Сумісні події не виключають появи один одного. Наприклад:

  • А = “студентка прийшла на лекцію”.
  • У = “студент прийшов на лекцію”.

Ці події незалежні одна від одної, і поява однієї з них не впливає на появу іншої. Несумісні події визначаються тим, що поява одного виключає появу іншого. Якщо говорити про ту ж монету, то випадання “решки” унеможливлює появу “орла” в цьому ж експерименті.

Дії над подіями

Події можна множити і складати, відповідно, в дисципліні вводяться логічні зв ‘язки “І” і “АБО”.

Сума визначається тим, що може з ‘явитися або подія А, або В, або дві одночасно. У разі коли вони несумісні, останній варіант неможливий, випаде або А, або В.

Множення подій полягає в появі А і В одночасно.

Тепер можна навести кілька прикладів, щоб краще запам ‘яталися основи, теорія ймовірності і формули. Приклади вирішення завдань далі.

Завдання 1: Фірма бере участь у конкурсі на отримання контрактів на три різновиди роботи. Можливі події, які можуть відбутися:

  • А = “фірма отримає перший контракт”.
  • А1 = “фірма не отримає перший контракт”.
  • У = “фірма отримає другий контракт”.
  • В1 = “фірма не отримає другий контракт”
  • З = “фірма отримає третій контракт”.
  • С1 = “фірма не отримає третій контракт”.

За допомогою дій над подіями спробуємо висловити наступні ситуації:

У математичному вигляді рівняння матиме такий вигляд: ДО = АВС.

Ускладнюємо завдання: H = “фірма отримає один контракт”. Оскільки не відомо, який саме контракт отримає фірма (перший, другий або третій), необхідно записати весь ряд можливих подій:

Н = А1ВС1υ АВ1С1 А1В1С.

А1ВС1 – це ряд подій, де фірма не отримує перший і третій контракт, але отримує другий. Відповідним методом записані й інші можливі події. Символ порожній у дисципліні позначає зв ‘язку “АБО”. Якщо перекласти наведений приклад людською мовою, то фірма отримає або третій контракт, або другий, або перший. Подібним чином можна записувати й інші умови в дисципліні “Теорія ймовірності”. Формули і приклади вирішення завдань, представлені вище, допоможуть зробити це самостійно.

Власне, ймовірність

Мабуть, у цій математичній дисципліні ймовірність події – це центральне поняття. Існує 3 визначення ймовірності:

Кожне має своє місце у вивченні ймовірностей. Теорія ймовірності, формули і приклади (9 клас) в основному використовують класичне визначення, яке звучить так:

  • Ймовірність ситуації А дорівнює відношенню числа результатів, що сприяють її появі, до числа всіх можливих результатів.

Формула виглядає так: Р(А)=m/n.

Р означає ймовірність події А.

А – власне, подія. Якщо з ‘являється випадок, протилежний А, його можна записувати як ^ або А1.

m – кількість можливих сприятливих випадків.

n – всі події, які можуть відбутися.

Наприклад, А = “витягнути карту червової масті”. У стандартній колоді 36 карт, 9 з них червової масті. Відповідно, формула вирішення завдання матиме вигляд:

У підсумку ймовірність того, що з колоди витягнуть карту червової масті, складе 0,25.

До вищої математики

Тепер стало трохи відомо, що таке теорія ймовірності, формули та приклади вирішення завдань, які трапляються у шкільній програмі. Однак теорія ймовірностей зустрічається і у вищій математиці, яка викладається у ВНЗ. Найчастіше там оперують геометричними і статистичними визначеннями теорії і складними формулами.

Дуже цікава теорія ймовірності. Формули і приклади (вища математика) краще починати вивчати з малого – зі статистичного (або частотного) визначення ймовірності.

Статистичний підхід не суперечить класичному, а трохи розширює його. Якщо в першому випадку потрібно було визначити, з якою часткою ймовірності відбудеться подія, то в цьому методі необхідно вказати, як часто вона буде відбуватися. Тут вводиться нове поняття “відносна частота”, яку можна позначити Wn (A). Формула нічим не відрізняється від класичної:

Якщо класична формула обчислюється для прогнозування, то статистична – згідно з результатами експерименту. Візьмемо, наприклад, невелике завдання.

Відділ технологічного контролю перевіряє вироби на якість. Серед 100 виробів знайшли 3 неякісних. Як знайти ймовірність частоти якісного товару?

А = “поява якісного товару”.

Таким чином, частота якісного товару становить 0,97. Звідки взяли 97? Зі 100 товарів, які перевірили, 3 виявилися неякісними. Від 100 забираємо 3, отримуємо 97, це кількість якісного товару.

Трохи про комбінаторику

Ще один метод теорії ймовірності називають комбінаторикою. Його основний принцип полягає в тому, що якщо певний вибір А можна здійснити m різними способами, а вибір В – n різними способами, то вибір А і В можна здійснити шляхом множення.

Наприклад, з міста А в місто В веде 5 доріг. З міста В до міста С веде 4 шляхи. Скількома способами можна доїхати з міста А в місто С?

Все просто: 5х4 = 20, тобто двадцятьма різними способами можна дістатися з точки А в точку С.

Ускладнимо завдання. Скільки існує способів розкладання карт у пасьянсі? У колоді 36 карт – це вихідна точка. Щоб дізнатися кількість способів, потрібно від вихідної точки “забирати” по одній карті і множити.

Тобто 36х35х34х33х32. х2х1 = результат не вміщується на екран калькулятора, тому його можна просто позначити 36! Знак “!” біля числа вказує на те, що весь ряд чисел перемножується між собою.

У комбінаторику присутні такі поняття, як перестановка, розміщення і поєднання. Кожне з них має свою формулу.

Впорядкований набір елементів безлічі називають розміщенням. Розташування можуть бути з повтореннями, тобто один елемент можна використовувати кілька разів. І без повторень, коли елементи не повторюються. n – це всі елементи, m – елементи, які беруть участь у розміщенні. Формула для розміщення без повторень матиме вигляд:

З ‘єднання з n елементів, які відрізняються тільки порядком розміщення, називають перестановкою. У математиці це має вигляд: Рn = n!

Поєднаннями з n елементів по m називають такі з ‘єднання, в яких важливо, які це були елементи і яка їх загальна кількість. Формула матиме вигляд:

Формула Бернуллі

У теорії ймовірності, так само як і в кожній дисципліні, є праці видатних у своїй галузі дослідників, які вивели її на новий рівень. Одна з таких праць – формула Бернуллі, що дозволяє визначати ймовірність появи певної події за незалежних умов. Це говорить про те, що поява А в експерименті не залежить від появи або не появи тієї ж події в раніше проведених або наступних випробуваннях.

Ймовірність (р) появи події (А) незмінна для кожного випробування. Ймовірність того, що ситуація відбудеться рівно m раз в n кількості експериментів, буде обчислюватися формулою, що представлена вище. Відповідно, виникає питання про те, як дізнатися число q.

Якщо подія А настає р кількість разів, відповідно, вона може і не наступити. Одиниця – це число, яким прийнято позначати всі результати ситуації в дисципліні. Тому q – число, яке позначає можливість ненаступлення події.

Тепер вам відома формула Бернуллі (теорія ймовірності). Приклади вирішення завдань (перший рівень) розглянемо далі.

Завдання 2: Відвідувач магазину зробить покупку з імовірністю 0,2. У магазин зайшли незалежним чином 6 відвідувачів. Яка ймовірність того, що відвідувач зробить покупку?

Рішення: Оскільки невідомо, скільки відвідувачів повинні зробити покупку, один або всі шість, необхідно прорахувати всі можливі ймовірності, користуючись формулою Бернуллі.

А = “відвідувач зробить покупку”.

У цьому випадку: р = 0,2 (як вказано у завданні). Відповідно, q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (оскільки в магазині 6 відвідувачів). Число m буде змінюватися від 0 (жоден покупець не зробить покупку) до 6 (всі відвідувачі магазину щось придбають). У підсумку отримаємо рішення:

Жоден з покупців не зробить покупку з імовірністю 0,2621.

Як ще використовується формула Бернуллі (теорія ймовірності)? Приклади вирішення завдань (другий рівень) далі.

Після вищенаведеного прикладу виникають запитання про те, куди поділися С і р. Відносно р число в ступені 0 буде дорівнювати одиниці. Що стосується С, то його можна знайти формулою:

Оскільки в першому прикладі m = 0, відповідно, С = 1, що в принципі не впливає на результат. Використовуючи нову формулу, спробуємо дізнатися, яка ймовірність купівлі товарів двома відвідувачами.

Не така вже й складна теорія ймовірності. Формула Бернуллі, приклади якої представлені вище, прямий тому доказ.

Формула Пуассона

Рівняння Пуассона використовується для обчислення малоймовірних випадкових ситуацій.

При цьому ^ = n х p. Ось така нескладна формула Пуассона (теорія ймовірності). Приклади вирішення завдань розглянемо далі.

Завдання 3: На заводі виготовили деталі в кількості 100000 штук. Поява бракованої деталі = 0,0001. Яка ймовірність, що в партії буде 5 бракованих деталей?

Як бачимо, шлюб – це малоймовірна подія, у зв ‘язку з чим для обчислення використовується формула Пуассона (теорія ймовірності). Приклади вирішення завдань подібного роду нічим не відрізняються від інших завдань дисципліни, у наведену формулу підставляємо необхідні дані:

А = “випадково обрана деталь буде бракованою”.

р = 0,0001 (згідно з умовою завдання).

n = 100000 (кількість деталей).

m = 5 (браковані деталі). Підставляємо дані у формулу і отримуємо:

Р100000 (5) = 105/5! Х е-10 = 0,0375.

Так само як і формула Бернуллі (теорія ймовірності), приклади рішень за допомогою якої написані вище, рівняння Пуассона має невідоме е. По суті його можна знайти формулою:

Однак є спеціальні таблиці, в яких знаходяться практично всі значення є.

Теорема Муавра-Лапласа

Якщо в схемі Бернуллі кількість випробувань досить велика, а ймовірність появи події А у всіх схемах однакова, то ймовірність появи події А певну кількість разів у серії випробувань можна знайти формулою Лапласа:

Щоб краще запам ‘яталася формула Лапласа (теорія ймовірності), приклади завдань на допомогу нижче.

Завдання 4: Рекламний агент роздає 800 листівок. Згідно зі статистичними дослідженнями, кожна третя листівка знаходить свого споживача. Яка ймовірність того, що спрацює рівно 267 рекламних листівок?

Спочатку знайдемо Xm, підставляємо дані (вони всі вказані вище) у формулу і отримаємо 0,025. За допомогою таблиць знаходимо число ϕ (0,025), значення якого 0,3988. Тепер можна підставляти всі дані у формулу:

Р800 (267) = 1/^ (800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким чином, ймовірність того, що рекламна листівка спрацює рівно 267 разів, становить 0,03.

Формула Байєса

Формула Байєса (теорія ймовірності), приклади вирішення завдань за допомогою якої будуть наведені нижче, являє собою рівняння, яке описує ймовірність події, спираючись на обставини, які могли бути пов ‘язані з ним. Основна формула має такий вигляд:

Р (А “В) = Р (В ‘А) х Р (А )/Р (В).

А і В є певними подіями.

Р (А ‘В) – умовна ймовірність, тобто може статися подія А за умови, що подія В істинно.

Р (В ‘А) – умовна ймовірність події В.

Отже, заключна частина невеликого курсу “Теорія ймовірності” – формула Байєса, приклади рішень завдань з якою нижче.

Завдання 5: На склад привезли телефони від трьох компаній. При цьому частина телефонів, які виготовляються на першому заводі, становить 25%, на другому – 60%, на третьому – 15%. Відомо також, що середній відсоток бракованих виробів у першої фабрики становить 2%, у другої – 4%, і у третьої – 1%. Необхідно знайти ймовірність того, що випадково обраний телефон виявиться бракованим.

А = “випадково взятий телефон”.

В1 – телефон, який виготовила перша фабрика. Відповідно, з ‘являться ввідні В2 і В3 (для другої і третьої фабрик).

У підсумку отримаємо:

Р (В1) = 25 %/100% = 0,25; Р (В2) = 0,6; Р (В3) = 0,15 – таким чином ми знайшли ймовірність кожного варіанту.

Тепер потрібно знайти умовні ймовірності шуканої події, тобто ймовірність бракованої продукції у фірмах:

Р (А/В1) = 2 %/100% = 0,02;

Тепер підставимо дані у формулу Байєса і отримаємо:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01 = 0,0305.

У статті представлена теорія ймовірності, формули і приклади вирішення завдань, але це тільки вершина айсберга великої дисципліни. І після всього написаного логічно буде задатися питанням про те, чи потрібна теорія ймовірності в житті. Простій людині складно відповісти, краще запитати про це у того, хто з її допомогою не раз зривав джек-пот.

Теорія ймовірностей

У цій статті пояснюється, що таке теорія ймовірностей і для чого вона використовується. Отже, ви знайдете основні поняття теорії ймовірностей, а також властивості та закони теорії ймовірностей.

Що таке теорія ймовірності?

Теорія ймовірностей — це набір правил і властивостей, які використовуються для обчислення ймовірності випадкового явища. Таким чином, теорія ймовірності дозволяє нам знати, який результат випадкового експерименту найбільш ймовірний.

Майте на увазі, що випадкове явище – це результат, який можна отримати в результаті експерименту, результат якого неможливо передбачити, але залежить від випадковості. Таким чином, теорія ймовірностей — це набір законів, які дозволяють нам визначити ймовірність виникнення випадкового явища.

Наприклад, коли ми кидаємо монету, ми можемо отримати два можливі результати: орла або решка. Що ж, ми можемо використати теорію ймовірностей, щоб обчислити ймовірність отримання голів, яка в цьому випадку становить 50%.

Протягом історії багато людей зробили внесок у розвиток теорії ймовірностей, серед яких виділяються Кардано, Лаплас, Гаусс і Колмогоров.

Основи теорії ймовірностей

Зразок простору

У теорії ймовірностей простір вибірки — це набір усіх можливих результатів випадкового експерименту.

Символ простору вибірки — це велика грецька літера Омега (Ω), хоча вона також може бути представлена великою літерою E.

Наприклад, вибірковий простір для кидання кубика такий:

Подія

У теорії ймовірностей подія (або подія) — це кожен можливий результат випадкового експерименту. Отже, ймовірність події — це значення, яке вказує на ймовірність настання результату.

Наприклад, у підкиданні монети є дві події: «орел» і «решка».

Існують різні типи подій:

  • Елементарна подія (або проста подія): кожен із можливих результатів експерименту.
  • Складена подія: це підмножина простору вибірки.
  • Певна подія: це результат випадкового досвіду, який завжди відбуватиметься.
  • Неможлива подія: це результат випадкового експерименту, який ніколи не відбудеться.
  • Сумісні події: дві події є сумісними, якщо вони мають спільну елементарну подію.
  • Несумісні події: дві події є несумісними, якщо вони не мають спільної елементарної події.
  • Незалежні події: дві події є незалежними, якщо ймовірність однієї з них не впливає на ймовірність іншої.
  • Залежні події: дві події є залежними, якщо ймовірність виникнення однієї змінює ймовірність появи іншої.
  • Подія, що суперечить іншій: та подія, яка відбувається, коли інша подія не відбувається.

Аксіоми ймовірності

    Аксіома ймовірності 1 : ймовірність події не може бути негативною.

Властивості ймовірності

    Імовірність однієї події еквівалентна одиниці мінус ймовірність протилежної події.

Імовірнісні правила

Правило Лапласа

Правило Лапласа — це імовірнісне правило, яке використовується для обчислення ймовірності події, що відбувається у вибірковому просторі.

Більш конкретно, правило Лапласа говорить, що ймовірність події дорівнює кількості сприятливих випадків, поділеній на загальну кількість можливих випадків. Тому формула правила Лапласа має такий вигляд:

Наприклад, якщо ми покладемо 5 зелених куль, 4 синіх і 2 жовті кулі в мішок, ми можемо знайти ймовірність випадкового вилучення зеленої кулі за правилом Лапласа:

правило суми

У теорії ймовірностей правило суми (або правило додавання) говорить, що сума ймовірностей двох подій дорівнює сумі ймовірностей кожної окремої події мінус ймовірність того, що обидві події відбудуться одночасно. час. .

Отже, формула правила додавання має такий вигляд:

Розв’язані покрокові вправи на застосування правила додавання можна переглянути за посиланням:

правило множення

Правило множення (або правило добутку) говорить, що спільна ймовірність настання двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей настання кожної події.

Тому формула правила множення має такий вигляд:

Однак формула для правила множення змінюється залежно від того, є події незалежними чи залежними. Ви можете побачити формулу правила множення для залежних подій і приклади застосування цього правила, натиснувши тут:

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше