Як отримати 0 при розподілі

0 Comments

11.1: Стандартний нормальний розподіл ймовірностей

При графіку даних з кожного з прикладів у вступі розподіли з кожної з цих ситуацій були б грубоподібними і переважно симетричними. Нормальний розподіл – це ідеально симетричний, горбистоподібний розподіл. Його зазвичай називають нормальною кривою, або кривою дзвінка.

Оскільки так багато реальних наборів даних близько наближаються до нормального розподілу, ми можемо використовувати ідеалізовану нормальну криву, щоб дізнатися багато про такі дані. При практичному зборі даних розподіл ніколи не буде точно симетричним, тому так само, як і ситуації, пов’язані з ймовірністю, справжній нормальний розподіл виходить лише з нескінченного збору даних. Також важливо відзначити, що нормальний розподіл описує безперервну випадкову величину.

Центр

Завдяки точній симетрії нормальної кривої центр нормального розподілу, або набір даних, який наближається до нормального розподілу, розташований у найвищій точці розподілу, а всі статистичні міри центру, які ми вже вивчили (середнє, медіана і режим) рівні.

Важливо також усвідомити, що цей центральний пік ділить дані на дві рівні частини.

Спред

Давайте повернемося до нашого прикладу попкорну. Сумка рекламує певний час, після якого ви ризикуєте спалити попкорн. З досвіду виробники знають, коли більша частина попкорну перестане з’являтися, але все ж є ймовірність, що є ті рідкісні ядра, які потребують більше (або менше) часу, щоб попсувати, ніж час, рекламований виробником. Напрямки зазвичай говорять вам зупинитися, коли час між вискакуванням становить кілька секунд, але хіба ви не спокушаєтеся продовжувати йти так що ви не в кінцевому підсумку з мішком, повним un-popped ядер? Оскільки це реальна, а не теоретична ситуація, настане час, коли попкорн перестане вискакувати і почне горіти, але завжди є шанс, незалежно від того, наскільки маленьким, що ще одне ядро вискочить, якщо ви будете тримати мікрохвильовку. При ідеалізованому нормальному розподілі неперервної випадкової величини розподіл триває нескінченно в обох напрямках.

Через цей нескінченний розкид діапазон не був би корисним статистичним показником поширення. Найпоширеніший спосіб вимірювання розкиду нормального розподілу – це стандартне відхилення або типова відстань від середнього. Через симетрії нормального розподілу стандартне відхилення вказує на те, наскільки далеко від максимального піку будуть дані. Ось два нормальних розподілу з однаковим центром (середнє значення):

Перший розподіл, зображений вище, має менше стандартне відхилення, і тому більша частина даних сильно зосереджена навколо середнього, ніж у другому розподілі. Також в першому розподілі менше значень даних при крайностях, ніж у другому розподілі. Оскільки другий розподіл має більше стандартне відхилення, дані поширюються далі від середнього значення, причому більше даних з’являється в хвостах.

Технологічна примітка: Дослідження нормального розподілу на графічному калькуляторі TI-83/84

Ми можемо побудувати графік нормальної кривої для розподілу ймовірностей на калькуляторі TI-83/84. Для цього спочатку натисніть [Y=]. Щоб створити нормальний розподіл, ми намалюємо ідеалізовану криву, використовуючи щось, що називається функцією щільності. Команда називається ‘normalpdf (‘, і її можна знайти натисканням [2nd] [DISTR] [1]. Введіть X, щоб представити випадкову величину, за якою слідують середнє значення та стандартне відхилення, розділені комами. Для цього прикладу вибираємо середнє значення 5 і стандартне відхилення 1.

Налаштуйте вікно відповідно до наведених нижче параметрів і натисніть [GRAPH].

Натисніть [2ND] [QUIT], щоб перейти на головний екран. Ми можемо намалювати вертикальну лінію на середньому рівні, щоб показати, що вона знаходиться в центрі розподілу, натиснувши [2ND] [DRAW] і вибравши «Вертикальний». Введіть середнє значення, яке дорівнює 5, і натисніть [ENTER].

Пам’ятайте, що хоча графік, здається, торкається осі x, він насправді просто дуже близько до нього.

У меню Y = введіть наступне для графіка 3 різних нормальних розподілів, кожен з яких має різне стандартне відхилення:

Це дозволяє легко побачити зміну спреду при зміні стандартного відхилення.

Емпіричне правило для нормальних розподілів

Через подібну форму всіх нормальних розподілів ми можемо виміряти відсоток даних, який становить певну відстань від середнього, незалежно від того, яке стандартне відхилення набору даних. Наступний графік показує нормальний розподіл з \(µ = 0\) і \(σ = 1\) . Ця крива називається стандартною нормальною кривою. При цьому значення \(x\) представляють собою кількість стандартних відхилень від середнього.

Зверніть увагу, що вертикальні лінії малюються в точках, які є рівно одним стандартним відхиленням вліво і праворуч від середнього. Ми послідовно описували стандартне відхилення як міру типової відстані від середнього. Скільки даних насправді знаходиться в межах одного стандартного відхилення від середнього? Щоб відповісти на це питання, подумайте про простір, або площа, під кривою. Весь набір даних, або 100% його, міститься під цілою кривою. Який відсоток ви оціните між двома рядками? Щоб допомогти оцінити відповідь, ми можемо скористатися графічним калькулятором. Графік стандартного нормального розподілу над відповідним вікном.

Тепер натисніть [2ND] [DISTR], перейдіть до меню DRAW та виберіть ‘Shadenorm (‘. Вставте ‘−1, 1’ після команди ‘Shade-Norm (‘) і натисніть [ENTER]. Він затінює площу в межах одного стандартного відхилення від середнього.

Калькулятор також дає дуже точну оцінку площі. На крайньому правому скріншоті вище видно, що приблизно 68% площі знаходиться в межах одного стандартного відхилення від середнього. Якщо ми ризикуємо на 2 стандартні відхилення від середнього, скільки даних ми повинні очікувати захоплення? Внесіть такі зміни до команди «ShadeNorm (»), щоб дізнатися:

Зверніть увагу з затінення, що майже весь розподіл затінений, а відсоток даних близький до 95%. Якщо ви ризикуєте на 3 стандартних відхилення від середнього, 99,7%, або практично всі дані, фіксується, що говорить нам про те, що дуже мало даних при нормальному розподілі становить більше 3 стандартних відхилень від середнього.

Зверніть увагу, що калькулятор насправді робить його схожим на весь розподіл затінений через обмеження роздільної здатності екрана, але, як ми вже виявили, є ще якась область під кривою далі, ніж це. Ці три приблизні відсотки, 68%, 95% та 99,7%, надзвичайно важливі і є частиною того, що називається емпіричним правилом.

Емпіричне правило стверджує, що відсотки даних при нормальному розподілі в межах 1, 2 і 3 стандартних відхилень середнього приблизно 68%, 95% і 99,7% відповідно.

Розрахунок та інтерпретація Z-балів

Z-оцінка – це міра кількості стандартних відхилень, які конкретна точка даних знаходиться далеко від середнього. Наприклад, припустимо, середній бал за тестом для вашого класу статистики склав 82, зі стандартним відхиленням 7 балів. Якщо ваш рахунок був 89, це рівно одне стандартне відхилення праворуч від середнього; отже, ваш Z-оцінка буде 1. Якщо, з іншого боку, ви набрали 75, ваш бал буде рівно на одне стандартне відхилення нижче середнього, а ваш z-бал буде −1. Усі значення, що знаходяться нижче середнього, мають негативні z-оцінки, тоді як всі значення, що перевищують середнє, мають позитивні z-оцінки. Z-оцінка −2 буде представляти значення, яке рівно на 2 стандартні відхилення нижче середнього, тому в цьому випадку значення буде \(82 − 14 = 68\) .

Щоб обчислити z-бал, для якого числа не настільки очевидні, ви берете відхилення і ділимо його на стандартне відхилення.

Ви можете згадати, що відхилення – це середнє значення змінної, відніманої від спостережуваного значення, тому в символічному вираженні z-оцінка буде такою:

Як було зазначено раніше, \(σ\) оскільки завжди позитивний, \(z\) буде позитивним, коли \(x\) більше, \(µ\) і негативним \(x\) , коли менше \(µ\) . Z-оцінка нуля означає, що термін має те саме значення, що і середнє. Значення \(z\) являє собою число стандартних відхилень \(x\) заданого значення вище або нижче середнього.

Приклад \(\PageIndex\)

Що таке z-оцінка для A на описаному вище тесті, який має середній бал 82? (Припустимо, що A – це 93.)

Рішення

Z-оцінка може бути розрахована наступним чином:

Якщо ми знаємо, що тестові бали з останнього прикладу розподіляються нормально, то z-оцінка може розповісти нам щось про те, як наш тестовий бал ставиться до решти класу. З емпіричного правила ми знаємо, що близько 68% студентів набрали б між z-балом −1 та 1, або між 75 та 89 на тесті. Якщо 68% даних знаходиться між цими двома значеннями, то це залишає решту 32% в хвостових областях. Через симетрію половина цього, або 16%, буде в кожному окремому хвості.

Приклад \(\PageIndex\)

На загальнонаціональному математичному тесті середнє значення становило 65, а стандартне відхилення – 10. Якби Роберт набрав 81, який був його z-рахунок?

Рішення

Приклад \(\PageIndex\)

На вступному іспиті до коледжу середнє значення становило 70, а стандартне відхилення – 8. Якщо оцінка Олени становила −1,5, який її бал на іспиті?

Рішення

З тих пір \(z = \dfrac\) ми можемо переписати цю формулу рішення для \(x\) :

Тепер ми можемо отримати оцінку іспиту Хелен із заданими параметрами:

Таким чином, оцінка іспиту Хелен склала 58; зверніть увагу, що оцінка 58 нижче середнього, і це має сенс, оскільки її Z-оцінка була негативною.

Оцінка нормальності

Найкращий спосіб визначити, чи наближається набір даних до нормального розподілу, – це подивитися на візуальне зображення. Гістограми та графіки коробки можуть бути корисними показниками нормальності, але вони не завжди є остаточними. Часто легше визначити, чи не є нормальним набір даних з цих ділянок.

Якщо набір даних перекошений вправо, це означає, що правий хвіст значно довший лівого. Аналогічно, косий лівий означає, що лівий хвіст має більшу вагу, ніж правий. Бімодальний розподіл, з іншого боку, має два режими, або піки. Наприклад, за допомогою гістограми висот американських 30-річних дорослих ви побачите бімодальний розподіл – один режим для чоловіків і один режим для жінок.

Існує графік, який ми можемо використовувати, щоб визначити, чи нормальний розподіл називається нормальним графіком ймовірності або нормальним квантильним графіком. Щоб зробити цей сюжет вручну, спочатку замовте свої дані від найменших до найбільших. Потім визначте квантиль кожної точки даних. Нарешті, використовуючи таблицю стандартних нормальних ймовірностей, визначте найближчий z-бал для кожного квантиля. Побудувати ці z-оцінки проти фактичних значень даних. Щоб скласти нормальний графік ймовірності за допомогою калькулятора, введіть свої дані в список, а потім скористайтеся останнім типом графіка в меню STAT PLOT, як показано нижче:

Якщо набір даних нормальний, то ця ділянка буде ідеально лінійним. Чим ближче до лінійного діаграма нормальної ймовірності, тим ближче набір даних наближається до нормального розподілу.

Подивіться нижче на гістограму та графік нормальної ймовірності для тих же даних.

Гістограма досить симетрична і горбистоподібна і, здається, відображає характеристики нормального розподілу. Коли z-оцінки квантилей даних будуються на основі фактичних значень даних, нормальний графік ймовірності виглядає сильно лінійним, що вказує на те, що набір даних близько наближає нормальний розподіл. Наступний приклад дозволить вам побачити, як робиться нормальний графік ймовірності більш детально.

Приклад \(\PageIndex\)

Наступний набір даних відстежував участь старших класів старших класів у дорожньо-транспортних пригодах. Учасникам було поставлено наступне питання: «За останні 12 місяців, скільки ДТП у вас було за кермом (чи несете ви відповідальність)?»

Рішення

РікВідсоток старших школярів, які заявили, що не були залучені до жодних дорожньо-транспортних пригод
199175.7
199276.9
199376.1
199475.7
199575.3
199674.1
199774.4
199874.4
199975.1
200075.1
200175.5
200275.5
200375.8

Малюнок: Відсоток старших школярів, які заявили, що вони не були залучені до жодних дорожньо-транспортних пригод.

Джерело: Джерело статистики кримінального правосуддя: http://www.albany.edu/sourcebook/pdf/t352.pdf

Ось гістограма і квадратний графік цих даних:

Здається, гістограма показує приблизно грубоподібний і симетричний розподіл. Графік коробки, здається, не значно перекошений, але різні розділи сюжету також не здаються надмірно симетричними. На наступній діаграмі дані були переупорядковані від найменшого до найбільшого, квантилі визначені, а найближчі відповідні z-оцінки були знайдені за допомогою таблиці стандартних нормальних ймовірностей.

Таблиця квантилей та відповідних z-балів для старших невипадкових даних.
РікВідсоток старших школярів, які заявили, що не були залучені до жодних дорожньо-транспортних пригодКвантиліz-оцінка
199674.1\(\dfrac = 0.078\)-1.42
199774.4\(\dfrac = 0.154\)-1.02
199874.4\(\dfrac = 0.231\)-0.74
199975.1\(\dfrac = 0.286\)-0.56
200075.1\(\dfrac = 0.385\)-0.29
199575.3\(\dfrac = 0.462\)-0.09
200175.5\(\dfrac = 0.538\)0.1
200275.5\(\dfrac = 0.615\)0,29
199175.7\(\dfrac = 0.692\)0,59
199475.7\(\dfrac = 0.769\)0,74
200375.8\(\dfrac = 0.846\)1.02
199376.1\(\dfrac = 0.923\)1.43
199276.9\(\dfrac = 1\)3.49

Ось графік відсотків проти z-балів їх квантилей, або нормальний графік ймовірності:

Пам’ятайте, що ви можете спростити цей процес, просто ввівши відсотки в L1 у вашому калькуляторі та вибравши параметр нормальної ймовірності (останній тип графіка) у STAT PLOT.

Хоча ця ділянка не ідеально лінійна, ця ділянка має сильну лінійну картину, і ми б, отже, прийшли до висновку, що розподіл є досить нормальним.

Вправи

1. Який із наведених нижче наборів даних, швидше за все, буде нормально розподілений? Для інших варіантів поясніть, чому ви вважаєте, що вони не будуть дотримуватися нормального розподілу.

а) Промах руки (вимірюється від кінчика великого пальця до кінчика витягнутого 5-го пальця) випадкової вибірки старшокласників

б) Річна заробітна плата всіх працівників великої судноплавної компанії

в) Річні зарплати випадкової вибірки з 50 керівників великих компаній, 25 жінок і 25 чоловіків

г) Дати 100 копійок, взятих з грошового ящика в цілодобовому магазині

2. Оцінки за статистикою середньострокові для середньої школи, як правило, розподіляються, з \(µ = 81\) і \(σ = 6.3\) . Обчисліть z-бали для кожного з наступних оцінок іспиту. Намалюйте і позначте ескіз для кожного прикладу. 65, 83, 93, 100

3. Припустимо, що середня вага 1-річних дівчаток в США зазвичай розподіляється, в середньому близько 9,5 кілограмів і стандартним відхиленням приблизно 1,1 кілограма. Не використовуючи калькулятор, оцініть відсоток 1-річних дівчаток, які відповідають наступним умовам. Намалюйте ескіз і затіньте відповідну область для кожної проблеми.

б) Від 7,3 кг до 11,7 кг

в) Більше 12,8 кг

4. Для стандартного нормального розподілу розмістіть наступне в порядку від найменшого до найбільшого.

а) Відсоток даних нижче 1

b) Відсоток даних нижче −1

г) Стандартне відхилення

д) Відсоток даних вище 2

5. The 2007 AP Статистика експертизи бали не були зазвичай розподілені, з \(µ = 2.8\) і \(σ = 1.34\) [1]. Що таке приблизний z-бал, який відповідає балу іспиту 5? (Оцінки варіюються від 1 до 5.)

д) Z-оцінка не може бути обчислена, оскільки розподіл не є нормальним.

6. Зростання хлопчиків 5-го класу в США приблизно нормально розподілений, із середнім зростом 143,5 см і стандартним відхиленням близько 7,1 см. Яка ймовірність того, що випадково обраний хлопчик 5-го класу буде вище 157,7 см?

7. Клас статистики купив деякі посипати (або джиммі) пончики для ласощі і помітив, що кількість посипання, здавалося, варіюється від пончика до пончика, тому вони підрахували посипання на кожному пончику.

Ось результати: 241, 282, 258, 223, 133, 335, 322, 323, 354, 194, 332, 274, 233, 147, 213, 262, 227 та 366.

Створіть гістограму, точковий графік або рамковий графік для цих даних. Прокоментуйте форму, центр та розворот розподілу.

Примітки:

Нормальний розподіл

Нормальний розподіл – це безперервний розподіл ймовірностей. Його ще називають гауссовим розподілом.

Функція нормальної щільності розподілу f (z) називається кривою Белла, оскільки вона має форму, що нагадує дзвін.

Стандартна нормальна таблиця розподілу використовується для знаходження площі під функцією f ( z ) для того, щоб знайти ймовірність певного діапазону розподілу.

Функція нормального розподілу

Коли випадкова величина X має нормальний розподіл,

Функція щільності ймовірності та кумулятивна функція розподілу нормального розподілу:

Функція щільності ймовірності (pdf)

Функція щільності ймовірності задається:

Х – випадкова величина.

μ – середнє значення.

σ – значення стандартного відхилення (std).

e = 2,7182818 . константа.

π = 3,1415926 . константа.

Функція кумулятивного розподілу

Функція кумулятивного розподілу задається:

Х – випадкова величина.

μ – середнє значення.

σ – значення стандартного відхилення (std).

e = 2,7182818 . константа.

π = 3,1415926 . константа.

Стандартна нормальна функція розподілу

Тоді функція щільності ймовірності та кумулятивна функція розподілу стандартного нормального розподілу:

Функція щільності ймовірності

Функція кумулятивного розподілу

Стандартна нормальна таблиця розподілу

z Φ ( z )φ ( z )
0,000,50000,3989
0,010,50400,3989
0,020,50800,3989
0,030,51200,3988
0,040,51600,3986
0,050,51990,3984
0,060,52390,3982
0,070,52790,3980
0,080,53190,3977
0,090,53590,3973
0,100,53980,3970
0,110,54380,3965
0,120,54780,3961
0,130,55170,3956
0,140,55570,3951
0,150,55960,3945
0,160,56360,3939
0,170,56750,3932
0,180,57140,3925
0,190,57530,3918
0,200,57930,3910
0,210,58320,3902
0,220,58710,3894
0,230,59100,3885
0,240,59480,3876
0,250,59870,3867
0,260,60260,3857
0,270,60640,3847
0,280,61030,3836
0,290,61410,3825
0,300,61790,3814
0,310,62170,3802
0,320,62550,3790
0,330,62930,3778
0,340,63310,3765
0,350,63680,3752
0,360,64060,3739
0,370,64430,3725
0,380,64800,3712
0,390,65170,3697
0,400,65540,3683
0,410,65910,3668
0,420,66280,3653
0,430,66640,3637
0,440,67000,3621
0,450,67360,3605
0,460,67720,3589
0,470,68080,3572
0,480,68440,3555
0,490,68790,3538
0,500,69150,3521
0,510,69500,3503
0,520,69850,3485
0,530,70190,3467
0,540,70540,3448
0,550,70880,3429
0,560,71230,3410
0,570,71570,3391
0,580,71900,3372
0,590,72240,3352
0,600,72570,3332
0,610,72910,3312
0,620,73240,3292
0,630,73570,3271
0,640,73890,3251
0,650,74220,3230
0,660,74540,3209
0,670,74860,3187
0,680,75170,3166
0,690,75490,3144
0,700,75800,3123
0,710,76110,3101
0,720,76420,3079
0,730,76730,3056
0,740,77040,3034
0,750,77340,3011
0,760,77640,2989
0,770,77940,2966
0,780,78230,2943
0,790,78520,2920
0,800,78810,2897
0,810,79100,2874
0,820,79390,2850
0,830,79670,2827
0,840,79950,2803
0,850,80230,2780
0,860,80510,2756
0,870,80780,2732
0,880,81060,2709
0,890,81330,2685
0,900,81590,2661
0,910,81860,2637
0,920,82120,2613
0,930,82380,2589
0,940,82640,2565
0,950,82890,2541
0,960,83150,2516
0,970,83400,2492
0,980,83650,2468
0,990,83890,2444
1.000,84130,2420
1.010,84380,2396
1.020,84610,2371
1.030,84850,2347
1.040,85080,2323
1.050,85310,2299
1.060,85540,2275
1.070,85770,2251
1.080,85990,2227
1.090,86210,2203
1.100,86430,2179
1.110,86650,2155
1.120,86860,2131
1.130,87080,2107
1.140,87290,2083
1.150,87490,2059
1.160,87700,2036
1.170,87900.2012
1.180,88100,1989
1.190,88300,1965
1.200,88490,1942
1.210,88690,1919
1.220,88880,1895
1.230,89070,1872
1.240,89250,1849
1,250,89440,1826
1.260,89620,1804
1,270,89800,1781
1.280,89970,1758
1.290,90150,1736
1.300,90320,1714
1.310,90490,1691
1.320,90660,1669
1,330,90820,1647
1.340,90990,1626
1,350,91150,1604
1.360,91310,1582
1,370,91470,1561
1,380,91620,1539
1.390,91770,1518
1.400,91920,1497
1.410,92070,1476
1.420,92220,1456
1.430,92360,1435
1.440,92510,1415
1.450,92650,1394
1.460,92790,1374
1.470,92920,1354
1.480,93060,1334
1,490,93190,1315
1,500,93320,1255
1,510,93450,1276
1,520,93570,1257
1,530,93700,1238
1,540,93820,1219
1,550,93940,1200
1,560,94060,1182
1,570,94180,1163
1,580,94290,1145
1,590,94410,1127
1,600,94520,1109
1.610,94630,1092
1,620,94740,1074
1,630,94840,1057
1.640,94950,1040
1,650,95050,1023
1,660,95150,1006
1,670,95250,0989
1,680,95350,0973
1,690,95450,0957
1,700,95540,0940
1,710,95640,0925
1,720,95730,0909
1,730,95820,0893
1,740,95910,0878
1,750,95990,0863
1,760,96080,0848
1,770,96160,0833
1,780,96250,0818
1,790,96330,0804
1.800,96410,0790
1.810,96490,0775
1,820,96560,0761
1,830,96640,0748
1,840,96710,0734
1,850,96780,0721
1,860,96860,0707
1,870,96930,0694
1,880,96990,0861
1,890,97060,0669
1,900,97130,0656
1.910,97190,0644
1,920,97260,0632
1.930,97320,0620
1.940,97380,0608
1.950,97440,0596
1,960,97500,0584
1,970,97560,0753
1,980,97610,0562
1,990,97670,0551
2,000,97720,0540
2.010,97780,0529
2.020,97830,0519
2.030,97880,0508
2.040,97930,0498
2.050,97980,0488
2.060,98030,0478
2.070,98080,0468
2.080,98120,0459
2.090,98170,0449
2.100,98210,0440
2.110,98260,0431
2.120,98300,0422
2.130,98340,0413
2.140,98380,0404
2.150,98420,0396
2.160,98460,0387
2.170,98500,0379
2.180,98540,0371
2.190,98570,0363
2.200,98610,0355
2.210,98640,0347
2.220,98680,0339
2.230,98710,0332
2.240,98750,0325
2.250,98780,0317
2.260,98810,0310
2.270,98840,0303
2.280,98870,0297
2.290,98900,0290
2.300,98930,0283
2.310,98960,0277
2.320,98980,0270
2.330,99010,0264
2.340,99040,0258
2.350,99060,0252
2.360,99090,0246
2.370,99110,0241
2,380,99130,0235
2.390,99160,0229
2.400,99180,0224
2.410,99200,0219
2.420,99220,0213
2.430,99250,0208
2.440,99270,0203
2.450,99290,0198
2.460,99310,0194
2.470,99320,0189
2.480,99340,0184
2.490,99360,0180
2.500,99380,0175
2.510,99400,0171
2.520,99410,0167
2,530,99430,0163
2,540,99450,0158
2,550,99460,0154
2,560,99480,0151
2,570,99490,0147
2.580,99510,0143
2.590,99520,0139
2,600,99530,0136
2.610,99550,0132
2.620,99560,0129
2.630,99570,0126
2.640,99590,0122
2.650,99600,0119
2.660,99610,0116
2,670,99620,0113
2.680,99630,0110
2,690,99640,0107
2,700,99650,0104
2.710,99660,0101
2.720,99670,0099
2.730,99680,0096
2.740,99690,0093
2,750,99700,0091
2.760,99710,0088
2.770,99720,0086
2.780,99730,0084
2.790,99740,0081
2,800,99740,0079
2.810,99750,0077
2.820,99760,0075
2.830,99770,0073
2.840,99770,0071
2,850,99780,0069
2.860,99790,0067
2,870,99790,0065
2.880,99800,0063
2.890,99810,0061
2,900,99810,0060
2.910,99820,0058
2.920,99820,0056
2.930,99830,0055
2.940,99840,0053
2.950,99840,0051
2,960,99850,0050
2.970,99850,0048
2.980,99860,0047
2,990,99860,0046
3,000,99870,0044
3.010,99870,0043
3.020,99870,0042
3.030,99880,0040
3.040,99880,0039
3.050,99890,0038
3.060,99890,0037
3.070,99890,0036
3.080,99900,0035
3.090,99900,0034
3.100,99900,0033
3.110,99910,0032
3.120,99910,0031
3.130,99910,0030
3.140,99920,0029
3.150,99920,0028
3.160,99920,0027
3.170,99920,0026
3.180,99930,0025
3.190,99930,0025
3.200,99930,0024
3.210,99930,0023
3.220,99940,0022
3.230,99940,0022
3.240,99940,0021
3.250,99940,0020
3.260,99940,0020
3.270,99950,0019
3.280,99950,0018
3.290,99950,0018
3.300,99950,0017
3.310,99950,0017
3.320,99950,0016
3.330,99960,0016
3.340,99960,0015
3.350,99960,0015
3.360,99960,0014
3.370,99960,0014
3.380,99960,0013
3.390,99970,0013
3.400,99970,0012
3.410,99970,0012
3.420,99970,0012
3.430,99970,0011
3.440,99970,0011
3.450,99970,0010
3.460,99970,0010
3.470,99980,0010
3.480,99980,0009
3.490,99980,0009
3.500,99980,0009
3.510,99980,0008
3,520,99980,0008
3,530,99980,0008
3,540,99980,0008
3,550,99980,0007
3.560,99980,0007
3,570,99980,0007
3,580,99980,0007
3,590,99980,0006
3.600,99980,0006
3.610,99980,0006
3.620,99990,0006
3.630,99990,0005
3.640,99990,0005
3.650,99990,0005
3.660,99990,0005
3.670,99990,0005
3.680,99990,0005
3.690,99990,0004
3.700,99990,0004
3.710,99990,0004
3.720,99990,0004
3.730,99990,0004
3.740,99990,0004
3.750,99990,0004
3.760,99990,0003
3.770,99990,0003
3.780,99990,0003
3.790,99990,0003
3.800,99990,0003
3.810,99990,0003
3.820,99990,0003
3.830,99990,0003
3.840,99990,0003
3.850,99990,0002
3.860,99990,0002
3.870,99990,0002
3.880,99990,0002
3.890,99990,0002
3.901.00000,0002
3.911.00000,0002
3.921.00000,0002
3.931.00000,0002
3.941.00000,0002
3.951.00000,0002
3,961.00000,0002
3.971.00000,0002
3.981.00000,0001
3,991.00000,0001

Графік стандартного нормального розподілу (вище нуля)

Дивіться також